Grenzwert von (1/sin(x) - 1/x) für x gegen Null

Question

Ich muss den Grenzwert mit Hilfe der Regel von Bernoulli-L'Hospital berechnen:

f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0

da 1/sin(x) für gegen Null gegen unendlich 

sowie auch 1/x für gegen Null gegen unendlich strebt, müssen wir die Regel verwenden.

Allerdings streben die Ableitungen von (1/sin(x)): -cos(x)/sin^2(x) 

sowie die Ableitung von (1/x) : -(1/x^2) beide wieder gegen minus unendlich. Die 2. Ableitung führt ebenso zu keinem Ergebnis für den Grenzwert. 

Mache ich was falsch oder gibt es einen bestimmten Trick?

lG Salmonhunter

Answer 1

f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0

der Trick : als Bruch schreiben

f ( x ) = x / (sin(x)*x) - sin(x) / (sin(x)*x)
f ( x ) = ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) 
lim x −> 0  [  ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) ] = 0 / 0

L´Hospital
( 1 - cos(x) ) / ( cos(x)*x + sin(x)*1 )
lim x −> 0  [ ( 1 - cos(x) ) / ( cos(x)*x + sin(x)*1 )] = 0 / 0

L´Hospital 2.Mal
lim x −> 0  [ sin ( x) / ( 2 * cos(x) - x * sin(x) ) = 0 / 2 = 0

alle Angaben ohne Gewähr

Comments

Im ersten Schritt hast du also den Grenzwert berechnet ohne Lhospital oder wie kann ich mir das vorstellen ?

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Hier kann man ´Hospital nicht anwenden
f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0

der Trick : als Bruch schreiben

f ( x ) = x / (sin(x)*x) - sin(x) / (sin(x)*x)
f ( x ) = ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x)
lim x −> 0  [  ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) ] = 0 / 0
Hier kann ´Hospital angewendet werden.

Answer 2

Tipp: für x gegen 0 gilt sin(x)≈x

Damit ist dann

1/sin(x)-1/x≈1/x-1/x =0

im Grenzwertprozess.

Comments

sin(x)≈x

Ohne genauere Erklärung von  " ≈ "  ist die Begründung falsch.

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Gemäß Reihenentwicklung vom Sinus:

$$ sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+O(x^3)$$

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Und betont werden sollte die Bedeutung von O(x^3) am Ende, weil O(x^2) nicht ausreicht (ich hoffe dass es klar ist, warum).

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Gute Frage, da hab ich mir noch gar keine Gedanken zu gemacht! Aufgrund des Bruches führen quadratische Terme zu Änderungen im Grenzwertverhalten:

$$ \frac{1}{x+ax^2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x(1+ax)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(\frac{1}{1+ax}-1)\\=\frac{1}{x}(\frac{1+ax-ax}{1+ax}-1)=\frac{1}{x}(\frac{-ax}{1+ax})=(\frac{-a}{1+ax}) $$

Startet man bei x^3 und höheren Termen, dann strebt es gegen 0.

Gibt es da noch eine Begründung, bei der man nix rechnen muss?

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Für kleine x ist  1/(1+x) = (1+x)^{-1} ≈ 1-x 
und für  f(x) = x + O(x^a) = x·(1+O(x^{a-1})  somit
1/f(x) ≈ 1/x·(1-O(x^{a-1}))

Es folgt  1/f(x) - 1/x ≈ 1/x·((1-O(x^{a-1})) - 1) = -O(x^{a-2})
und der Grenzwert für x→0 davon ist 0, falls a>2 ist.