Zeigen Sie, dass die Reihe konvergent ist und Grenzwerte bestimmen (Analysis Uni)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Reihe

$$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(3-k) 3^{k-1}}{k !} $$

konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe.

Comments

Wo ist genau der Unterschied zu https://www.mathelounge.de/506176/analysis-beweisen-dass-alle-elemte-vorhanden-sind-fakultat

Kannst du die verlinkte Frage nicht irgendwie wiederverwenden? 

Answer 1

Hi,durch Teil a) weißt du ja, dass du die endliche Summe schreiben kannst als \( \frac{3^n}{n!} - 1\). Somit ist die Reihe das gleiche wie \( \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} - 1\). Der Grenzwert des Bruchs ist 0. Somit ist die Reihe gleich - 1. Du musst nun beweisen, dass der Grenzwert des Bruchs 0 ist.

Answer 2

Hi,

Es gibt Kriterien, für die Konvergenz oder Divergenz von Reihen, hier mal eine kurze Auflistung:

1.) Nullfolgekriterium

2.) Quotientenkriterium

3.) Wurzelkriterium

4.) Majoranten Kriterium

...

Ich empfehle für diese Aufgabe einfach mal das Quotientenkriterium, keine Sorge, dass ist alles halb so schlimm, am Anfang steht man da immer recht verlassen vor, aber mit ein bisschen Übung geht das alles:) Kleiner Tipp, es gibt auch ein "Ablaufdiagramm" an das man sich bei solchen Aufgaben halten kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium