Hi,
zur a):
Schaue, ob Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) existieren, sodass
$$\begin{pmatrix} 10 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$$
gilt.
Erste Gleichung: \(10=1-5 \cdot \lambda + 2 \cdot \mu \ \Rightarrow \ \mu = \frac{9+5 \cdot \lambda}{2}\)
Zweite Gleichung: \(-1=2+\lambda - \mu \ \Rightarrow \ \mu = -3- \lambda\)
Nun muss das \(\mu\), das wir in den Gleichungen erhalten haben, ja das gleich sein. Somit muss also
\(\frac{9+5 \cdot \lambda}{2} = -3 - \lambda\)
gelten. Lösen wir nach \(\lambda\) auf, so erhalten wir \(\lambda = -\frac{15}{7}\), woraus \(\mu = - \frac{6}{7}\) folgt.
Dritte Gleichung: \(-1=6+ 3 \cdot \lambda - 2 \cdot \mu = 6 + 3 \cdot (- \frac{15}{7})-2 \cdot (-\frac{6}{7})= \frac{9}{7}\)
Hier steht, dass \(-1=\frac{9}{7}\) ist. Da das offensichtlich falsch ist, liegt der Punkt \((10,-1,-1)^T\) nicht in der Ebene.
Gehe bei den anderen genauso vor. Falls die Gleichung, die du am Ende erhältst (in unserem Fall \(-1=\frac{9}{7}\) ), korrekt ist, so liegt der Punkt drauf. Wenn nicht, dann nicht.
