Kurvendiskussion der Funktion x^2 ln|x|

Question

 

Könnt ihr mir bitte bei der Lösung der Kurvendiskussion der Funktion x^2 ln|x| helfen? Und mir auch bei der Verbesserung bzw. Ergänzung der Kurvendiskussion helfen?

a) Definitionslücke bei x=0;  D= \ {0} , W= R

x-> -oo => -oo

x-> oo => oo

b) Ansatz f(-x) = (-x)^2 ln |(-x^2)|

c) x^2 ln|x| =  0 => x=1 (x^2 oder x = 0 sind nicht erlaubt)

d) Ja, sie ist stetig, da dann 0 rauskommt als y-Wert(Wie macht man das rechnerisch, einfach Null einsetzen?)

e) f'(x) = 2xln(x)+x

    f''(x) = 2ln(x)+3 (musste man nur die beiden Ableitungen bestimmen?

f) f'(x) = 0 <=> 2xln(x) +x = 0 <=> ln(x) = -3/2 <=> x= e^{-3/2}

 

Answer 1

Hi,

bis einschließlich c) ist alles korrekt (bis auf den Grenzwert für x gegen \(- \infty\), den du aber sowieso nicht ausrechnen solltest) :)

Zur d): Die Funktion ist nicht stetig in 0, da die ln-Funktion schneller gegen \(-\infty\) konvergiert für \(\vert x\vert \to 0\) als \(x^2\) gegen \(0\) für \(\vert x \vert \to 0\). Es gilt also: \(\lim_{\vert x \vert \to 0} f(x)= - \infty\)

e) Du musst sogar nur die erste Ableitung bestimmen. Sie ist korrekt. Für welche x gilt sie?

Formel würde ich hier \(x>0\) und \(x<0\) betrachten. Für \(x>0\) gilt \(f(x)=x^2 \cdot ln(x)\) und für \(x<0\) gilt \(f(x)=x^2 \cdot ln(-x)\).

f) \(2 \cdot x \cdot  \ln(x)+x=x \cdot (2 \cdot \ln(x)+1)=0\)

Comments

Ok, georgborn hat recht, die Definitionslücke wurde ausgeschlossen durch das setzen von \(f(x)=0\) in \(x=0\). 

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Weder a), noch b), noch c) sind richtig!

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Ok, mein Fehler. Hatte mir die Lösung seiner b) angeschaut und dachte in dem Moment das Quadrat sei auch in der ursprünglichen Funktion. Ohne das Quadrat ist er auf dem richtigen Weg. An den Fragesteller: Wieso gilt f(x) =f(-x)? Bei der c) ist x=0 natürlich auch noch eine Nullstelle. Danke für den Hinweis.

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Ok, meine d) war natürlich auch Blödsinn. 

Answer 2

a.) Die Definitionslücke für x = 0 wurde in der
Definition der Funktion geschlossen durch ( 0 | 0 )

D = ℝ

Extrempunkte
1.Ableitung
2x * ln(x) + x^2 * 1/x
2x * ln(x) + x
x * ( 1 + 2*ln(x) ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
1 + 2*ln(x) = 0
2 * ln(x) = -1
ln(x) = -1/2
x = e^{-1/2}
f ( x ) = -0.18 ( minimum )
Der lim x −> ± ∞  ist plus unendlich

W = [ -0.18 ; + ∞ ]

Comments

b.)
Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
x^2 * ln | x | = (-x)^2 * ln | -x | = x^2 * ln ( x )

Die Achsensymmetrie ist gegeben.

c.)
Nullstelle
x^2 * ln | x | = 0
Satz vom Nullprodukt
x^2 = 0
x = 0 ( wurde in der Definition entfernt )
und
ln | x | = 0
x = ± e^0
x = ± 1

Die Nullstelle ( 0 | 0 ) wurde in der
Definition der Funktion angegeben.
( 0 | 0 ) ( ± 1 | 0 )

Polstellen gibt es keine

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nähert sich lim x −> ± 0 kann man durch
L´Hospital zeigen

ist der Grenzwert null ist
Die Funktion ist bei x = 0 stetig.

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e.) Deine Ableitung stimmt.
f'(x) = 2xln(x)+x

Die Steigung im Punkt ( 0 | 0 ) ist null.
Die Funktion ist somit komplett differenzierbar.

f.)
2.) Ableitung : Art des Extremwerts
f ´´ ( x ) = 2 * ln(x) + 3
f ´´ ( | ± 0.61 | ) = 2 * ln(  ± 0.61 | ) + 3 = 2.51
linksgekrümmt = Tiefpunkt

Das globale Maximum liegt bei ± ∞.

Durch komplette Berechnung der Monotonie
kann auch ein relatives Maximum bei ( 0 | 0 )
bestimmt werden.

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Und woher weißt du, was e^(-1/2) für ein Wert hat(ohne Taschenrechner)?

Sry, dass ich erst jetzt frage.

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War der Einsatz von Taschenrechern irgendwie
nicht erlaubt ?

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Leider nicht..