ableitung von sinx*cosx

Question

ich habe es mit der Produktregel abgeleitet. Was mache ich falsch?

Die Lösung bei Wolfram ist cos(2x)

Answer 1

cos(x) * cos(x) = (cos(x) )^2    nicht  2cos(x).

Dann würde es stimmen.

f ' (x) =  (cos(x) )^2   -  (sin(x) )^2  

oder auch  = 2 (cos(x) )^2  - 1 

Comments

ja klar. was habe ich da gemacht.

aber ist denn cos²x - sin²x das gleiche wie cos(2x) ??

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aber ist denn cos²x - sin²x das gleiche wie cos(2x) ??

Frag doch mal deinen besten Freund Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5E2(x)+-+sin%5E2(x)+%3D+cos(2x)

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Alles klar 

Dann ist ja alles gut 

Answer 2

COS(x) * COS(x) ≠ 2 * COS(x)

COS(x) * COS(x) = (COS(x))^2 = COS^{2}(x)

Die Ableitung ist also grundsätzlich

(SIN(x) * COS(x))' = COS^{2}(x) - SIN^{2}(x)

Das kann man jetzt noch mit den Additionstheoremen umschreiben. Das muss man aber nicht.

Answer 3

Erinnere dich an die Doppelwinkelformel für Sinus (Additionstheoreme!) 

2 * sinx*cosx = sin(2x)  

d.h.

f(x) = sin(x) * cos(x) = 1/2 sin(2x)   | Ableitung mit Kettenregel

f ' (x) = 1/2 * cos(2x) * 2 

= cos(2x)