Analysis Funktion auf minimum und maximum untersuchen

Question

Ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.

Ich weiß jetzt nicht genau ob ich jetzt zweimal ableiten soll oder nur einmal?

Answer 1

Einmal wenn du das Vorzeichenkriterium verwendest. Zweimal wenn du lieber die Zweite Ableitung verwendest um auf Hoch oder Tiefpunkte zu prüfen.

Answer 2

Hallo Iskander,

bei dieser Überprüfung musst du für das Intervall  [-1/4 ; 1]  die lokalen Randextrema  f(-1/4) und f(1) und die eventuellen lokalen Extrema im Innern des Intervalls untersuchen.

Für Letztere musst die zuerst die x-Stellen  x_E  finden, für die solche Extrema vorliegen können:

Das sind ggf. die Lösungen der Gleichung  f '(x) = 0

Danach gibt es zwei Möglichkeiten, diese möglichen Extremstellen zu verifizieren:

1)  Bestimme mit einer Vorzeichentabelle für f '  die Vorzeichenwechsel von f ' . Dann benötigst du nur die Ableitung.

2)  Prüfe, ob f "(x_E) > 0 (Tiefpunkt)  oder  f "(x_E) < 0  (Hochpunkt) gilt. Dann benötigst du natürlich 2 Ableitungen.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Wie hast du die Aufgabe geloest? ich wollte auch die Aufgabe loesen.

Comments

f ( x ) = x^2 / ( x + 1 )
D = ℝ \ { - 1 }
f ´( x ) = ( x^2 + 2x ) / ( x+ 1 )^2
Stelle mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist.
x^2 + 2x = 0
x * ( x + 2 ) = 0
x = 0
und
x + 2 = 0
x = -2  ( nicht im Intervall )

Nachweis ob min, max oder Sattelpunkt
mithilfe der 1.Ableitung
f ´( x ) = ( x^2 + 2x ) / ( x+ 1 )^2
Steigung positiv
f ´( x ) > 0
Der Nenner ( x + 1 )^2 ist als Quadrat
stets postiv. Falls der Zähler auch positiv
ist haben wir mit + / +, einen positiven Wert.
( x^2 + 2x ) > 0
x * ( x + 2 ) > 0
( x > 0 ) und ( x + 2 > 0 )  
x > 0 und x > -2
x > 0 ( Steigung positv )

Falls der Zähler negativ ist
haben wir mit - / +, einen negativen Wert.
( x^2 + 2x ) < 0
x * ( x + 2 ) < 0
1.)
( x < 0 ) und ( x + 2 > 0 ) 
x < 0 und x > -2
-2 < x < 0 ( Steigung negativ )
2.)
( x > 0 ) und ( x + 2 < 0 )
x > 0 und x < -2
kene Schnittmenge

Zusammenfassung
Zwischen -2 < x < 0 ist Steigung negativ
x = 0 keine Steigung
x > 0 Steigung positiv

Die Stelle x = 0 ist ein Minimum.

Der Nachweis min oder max kann auch
über die 2.Ableitung erbracht werden.

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Der Graph

( 0 | f ( 0 ) = ( 0 | 0 )
Randmaxima
( -3/4 | 9/2 )
( 1 | 1/2 )

Minimum
( 0 | 0 )
Maximum
( -3/4 | 9/2 )