Gruppentafel: Quadrat mit 8 Variationen ; fehlerhafte Korrektur?

Question

Moin!

Es geht um folgendes Quadrat:

Hier ist meine Lösung: 

Die Lösung weicht an 4 Punkten ab, welche meiner Ansicht nach aber falsch sind...?

1. in Zeile y: r und t sollten laut Lösung vertauscht sein

2. in Zeile z: t und r sollten laut Lösung vertauscht sein

Ich glaube meine Lösung ist richtig oder?

Answer 1

Offenbar hast du folgende Festlegungen getroffen

w = Spiegelung an der Mittelsenkrechten von AB

x = Spiegelung an der Mittelsenkrechten von BC

y =  Spiegelung an der Diagonalen AC

z =  Spiegelung an der Diagonalen DB

i = idenische Abbildung

r = Drehung um 90°

s = Drehung um 180°

t = Drehung um 270°

Dann ist y_°w eine Doppelspiegelung an zwei Geraden, die einen Winkel von 45° bilden, also eine Drehung um 90°. D.h. y_°w=r.

Comments

Die Festlegungen sind korrekt. Danke für dein Feedback.
Einzig deinem Abschlusssatz kann ich nicht folgen...

"Dann ist y°w eine Doppelspiegelung an zwei Geraden"

einverstanden

"die einen Winkel von 45° bilden"

Wie meinst du das?
Von der horizontalen Spiegelung w zur diagonalen Spiegelung y (bzw. umgekehrt) sind es 45°... 

"also eine Drehung um 90°. D.h. y°w=r."

Jetzt hast du mich abgehängt.

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Noch eine ergänzende Frage:

Wie lässt sich aus den einzelnen Elementen eine Aussage über die Ordnung treffen?

Sei G eine Gruppe \((Z_m, °)\) und \(a \in G\), ausserdem sei \(n \in N\), so dass \(a^n\).
Ich weiß, dass das \(n\) die Ordnung von \(a\) darstellt, sobald gilt, dass \(a^n = 1 (mod~ m)\) ergibt.

Ich weiß jetzt nicht so ganz, wie ich das auf diese Gruppentafel anwenden soll.
Für die ersten paar gehts noch:

i = Ordnung 1
s, w, x, y, z = Ordnung 2  (// weil jeweils die Potenz die Identität ergibt.)
r = Ordnung 4  (warum hab ich hier ein \(n^4\)?)
t = Ordnung 4  (warum hab ich hier ein \(n^4\)?)

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Jede Doppelspiegelung an zwei sich scheidenden Geraden ist eine Drehung um den Schittpunkt. Der Drehwinkwel ist dann doppelt so groß, wie der Winkel zwischen den Geraden. Das ist ein Satz der Kongruenzabbildungen.

Answer 2

Müsste die Verknüpfungstabelle symmetrisch sein? Bei den Drehungen eher nicht. Aber bei den Spiegelungen wohl schon. 

Kannst du erklären, was die Grundfigur ist und in welcher Reihefolge die Tabelle zu lesen ist? "Erst y und dann w" oder umgekehrt? 

Erst y und dann w gibt  r. 

Erst w und dann y auch r (?) !

Dann wäre der Fehler einfach symmetrisch verschoben . 

Comments

Die Grundfigur, also die Identität ist i

"Erst y und dann w" ?

Ja, genau so. Danke für dein Kommentar! Das bestätigt meine Vermutung.

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Das bestätigt meine Vermutung.

Aber dann ist dafür wohl "erst w und dann y " falsch. Kontrolliere das mal, bevor du  Streit bekommst mit dem Korrektor. Du hast dort t statt r, wie ich vermute. 

EDIT: Das war falsch! Vgl. unten. 

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Weswegen ist w nach y falsch?
Wird w an der diagonalen Achse gespiegelt (Achse: von unten links nach oben rechts), dann erhalte ich...
oben links: A
unten links: B
unten rechts: C
oben rechts: D

==> das entspricht der Drehung der Identität i um 270°, woraus folgt: t

?

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Du hast recht. 

Erst y und dann w: Spiegelachse von y nach w wird um 45° gedreht. Nacheinander ausführen führt zu Drehung um 2*45° = 90° .

Erst w und dann y: Speigelachse von w nach y wird um 135° gedreht. Nacheinander ausführen führt zu Drehung um 2*135° = 270° .

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Alles klar, weiß bescheid. :) Danke für deine Hilfe.

Btw.:
Könntest du noch einen kurzen Blick auf mein letztes Kommentar zum Post von Roland werfen? Weißt du wie es da zur Ordnung 4 kommt?

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Mist. Das lässt sich nicht formatiert kopieren. Kursiv ist von dir. 

i = Ordnung 1
s, w, x, y, z = Ordnung 2  (// weil jeweils die Potenz die Identität ergibt.) 

Man würde schreiben s*s = I, also s^2 = I

Ordnung ist die Zahl im Exponenten n=2
r = Ordnung 4  (warum hab ich hier ein n4
n
4
?) 

r Drehung um 90°

r * r * r * r = I , somit r^4 = I.

Ordnung ist die Zahl n=4. 
t = Ordnung 4  (warum hab ich hier ein n4
n
4
?)

Analog: t^4 = I . Ordnung ist die Zahl n=4. 

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Irgendwie denke/zähle ich komisch...

Dass \(r^4 = i\) verstehe ich noch. Quasi \(4 * 90°\)-Drehungen.
Ich schaff's grad nicht, da abstrakter drüber nachzudenken.

Könntest du das t etwas mehr aufdröseln?

t = 270°.... warum \(t * t * t * t\)?

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4 * 270° = 1080° = 3 * 360°