Gauss-Algorithmus zur Lösung eines LGS

Question

Ich verstehe nicht wie ich damit fortfahren soll, kann mir jemand den richtigen Rechenweg zeigen?

\( \left(\begin{array}{ccc|c}{4} & {2} & {1} & {-6} \\ {3} & {4} & {2} & {0,5} \\ {5} & {6} & {1} & {-2,5}\end{array}\right) \)

Answer 1

Du nennst den Lösungsansatz schon in der Überschrift: Wende den Gauß-Algorithmus an!

Mitglied gorgar hat einen tollen Gauß-Trainer gebaut, den Du hierfür nutzen kannst: https://www.matheretter.de/rechner/gausstrainer

Das zu lösende System lautet: 

\(\underbrace{\left(\begin{matrix}4&2&1\\3&4&2\\5&6&1\end{matrix}\right)}_{\text{A}}\cdot x = \underbrace{\left(\begin{matrix}-6\\0.5\\-2.5\end{matrix}\right)}_{\text{b}}\)

Eine Beschreibung des Algorithmus (solltest Du damit Probleme haben) findest Du hier: 

https://www.youtube.com/watch?v=N4iuTaHUC80

Als Alternative kannst Du mit der Inversen von \(A\) rechnen. Diese existiert, da die Determinante einen von \(0\) verschiedenen Wert besitzt.

Answer 2

Hallo medi,

eigentlich hatten wir beide das doch schon :-)

Hier führt der GA sehr schnell zum Ziel, wenn man sich wieder zuerst die 3. Spalte "vornimmt": 

⎡ 4   2   1    -6  ⎤
⎢ 3   4   2   0,5 ⎥
⎣ 5   6   1   2,5 ⎦

⎡  4   2   1     -6  ⎤
⎢ -5   0   0  12,5 ⎥   Z2 - 2*Z1
⎣  1   4   0    3,5 ⎦   Z3 - Z1

Da sich zufällig eine zweite Null in Z2 ergibt, hättest du bereits eine obere Dreiecksmatrix, wenn du Z2 und Z3 vertauschst. Die Mühe kann man sich sparen und direkt mit dem Ausrechnen der 3 Unbekannten anfangen:

Z2  →  -5 x₁ = 12,5            →  x₁  =  12,5 / (-5)        = - 2,5

Z3   →   -2,5 + 4 x₂ = 3,5   →  x₂  =  (3,5 + 2,5) / 4  = 1,5

Z1  →    -10 + 3 + x₃  = -6  →  x₃  =  -6  + 10 - 3      = 1  

Gruß Wolfgang