Aufgabe zu einer Probeklausur, eine Basis erstellen und erkennen

Question

Huhu,

ich benötige eine Erklärung zur folgenden Aufgabe mit der Musterlösung.

Aufgabe: 

Es sei n ∈ ℕ, n ≥ 2. Weiter sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und (v₁,...,v_n) eine Basis von V.

(a) Ist (v₁ - v₂, v₂ - v₃,...,v_n-1 - v_n, v_n - v₁) eine Basis von V?

(b) Ergänzen Sie (v₂ - v₁, v₃ - v₁,...,v_n - v₁) zu einer Basis von V.

Musterlösung: 

(a) Nein, man addiere einfach alle Vektoren auf.

(b) Man wähle v₁. Sie können dann leicht zeigen, dass dies eine Basis ergibt.

Wie zeige ich genau, dass (b) eine Basis ergibt und wie zeige ich (a)?

Beste Grüße und vielen Dank
Cellrok

Answer 1

(a) Nein, man addiere einfach alle Vektoren auf.

Das heißt, die Linearkombination der gegebenen Vektoren, 

die vor jedem Vektor den Faktor 1 hat, ergibt den Nullvektor,

also 

1*(v1 - v2) + 1*(v2-v3) + 1*(v3-v4) +...+ 1*(v_n-1 - vn ) + 1*(v_n - v1)

ergibt den Nullvektor. Deshalb sind die Vektoren linear abhängig;

denn wären sie linear unabhängig, dann müsste aus einer

Linearkombination für den Nullvektor folgen, dass alle

Faktoren vor den Klammern 0 wären.

(b) Man wähle v1. Sie können dann leicht zeigen, dass dies eine Basis ergibt.

Wie zeige ich genau, dass (b) eine Basis ergibt

Zeige erst mal, dass die gegebenen zusammen mit v1 lin. unabhängig sind, indem

du einen Ansatz wählst 

x1*v1+x2*(v2-v1) + x3*(v3-v1) + .... +xn(vn-v1) = 0-Vektor

<=> (x1-x2-x3-...-xn)*v1 + x2*v2 + x3*v3+....+xn*vn = 0-Vektor

weil v1,...,vn lin. unabh. sind, sind alle Faktoren = 0 , also 

(x1-x2-x3-...-xn)=0 und x2=0  und ....xn= 0

wenn du die letzten Gleichungen die der 1. einsetzt bleibt x1=0,

also sind bei deiner Linearkomb. auch alle Faktoren = 0 ,

und damit die Vektoren v1,  v2-v1,  v3-v1 , ... , vn-v1 lin. unabh.

Da die Anzahl (n) auch stimmt, bilden sie also eine Basis.