Untersuchen Sie f(x) auf Monotonie. Stimmt mein Ergebnis?

Question

 

Ich habe folgende Funktion f(x) = -x^3 + 3x+2 auf Monotonie untersucht, weiß allerdings nicht ob meine Ergebnisse stimmen. 

f‘(x) = -3x^2 + 3 

0 = -3x^2 + 3 

x1 = 1 / x2 = -1 

Grob kann ich sagen. Die Funktion kommt vom II Quadranten und „verschwindet im IV. 

I_1 = ]-∞ ; -1 [ = { x € IR I -∞ < x < -1 }  

f‘(-2) = -9 < 0  => monoton fallend 

I_2 = ]-1 ; 1 [ = { x€IR I -1 < x < 1 } 

f‘(1/2) = 2,25 > 0 => monoton steigend 

I_3 = ]1 ; ∞ [ = { x € IR I 1 < x < ∞ } 

f‘(2) = -9 < 0 => monoton fallend 

Gesamt : Keine Monotonie! 

Jetzt meine Frage : Stimmt mein Ergebnis und wenn setzt man bei den Intervallen z.b die geschlossenen Klammern ? Also wann muss ich die Extrema mit einschließen ? 

Danke ! 

Answer 1

f(x) = - x^3 + 3·x + 2

f'(x) = 3 - 3·x^2 >= 0 --> -1 ≤ x ≤ 1

Im Intervall [-1; 1] monoton wachsend.

Im Intervall ]-∞ ; -1] oder [1 ; ∞[ monoton fallend.

Ich schließe die Extrema immer mit ein. Das handhaben aber etliche Leute unterschiedlich.

Hier könnte ich sogar "streng monoton" sagen, weil die Funktionswerte nie gleich bleiben.

Comments

Also kann ich einfach die Extrema einschließen oder einfach ausschließen ?

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Du solltest es so machen wie euer Lehrer es macht. 

Hier werden die Extrema z.B. nicht mit in die Intervalle genommen.

https://www.youtube.com/watch?v=DiCd_enf2Gw

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Und hier stehen die Extrema mit im Intervall

https://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo1/monotonie

Wie gesagt finde ich zweites schöner aber man sollte sich da denke ich an den Lehrer halten.

Answer 2

Grob kann ich sagen. Die Funktion kommt vom
II Quadranten und „verschwindet im IV.

Die Monotonie über dies Argument begründen
zu wollen ist zu umständlich und kann auch nicht
bei jeder Funktion angewendet werden.

f‘(x) = -3 * x^2 + 3

Stelle mit waagerechter Tangente
-3 * x^2 + 3 = 0  | : 3
-x^2 + 1 = 0
x^2 = 1
x = 1
x = -1

Monotonie positiv - steigend
3 * x^2 + 3 > 0  | : 3
-x^2 + 1 > 0 |  + x^2
x^2 < 1
-√ 1 < x < √ 1
-1 < x < 1

Für Monotonie negativ - fallend ergibt sich
x^2 > 1
x > + 1
x < -1

Die Darstellung auf dem Zahlenstrahl

                      -1                        1
<−−−−−−−−−−−|−−−−−−−−−−−−−|−−−−−−−−−−>
      fallend              steigend               fallend
                   Tiefpunkt           Hochpunkt


Gesamt : Keine Monotonie!
Was meinst du mit dieser Aussage ?

Der Graph