Fläche unter einer Parabel berechnen? Wie geht das?

Question

gegeben ist die Funktion x². Nun sollen wir manuell (ohne Integrale) die Fläche zwischen 0 und 5 berechnen. Wir sollen die Parabel in 4 verschiedene Teile teilen (jeweils 1,25). Wenn ich nun 1/n * 1(n)²... usw rechne, dann bekomme ich eine Dezimalzahl, obwohl die Antwort beim Integral bei etwa 42 liegt. Was mache ich falsch bzw. wie kann ich es richtig machen?

Comments

Darfst du eine Stammfunktion bilden? Ich bin bei den Begriffen immer nicht so sicher.

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Nein, wir sollten sowas noch gar nicht kennen

- mein Mathelehrer

Answer 1

Hallo Lounger,

du kannst eine Obersumme und eine Untersumme bilden:

$$O_n = \sum\limits_{k=1}^{n} 5/n · (\frac { k·5 }{ n })^2$$$$U_n = \sum\limits_{k=1}^{n} 5/n · (\frac { (k-1)·5 }{ n })^2$$

O₄ = 5/4·(1·5/4)² + 5/4·(2·5/4)² + 5/4·(3·5/4)² + 5/4·(4·5/4)²  ≈  58,59375  

U₄  =  5/4·(1·5/4)² + 5/4·(2·5/4)² + 5/4·(3·5/4)²  ≈  27,34375

Der Flächeninhalt liegt irgendwo dazwischen.

Je mehr Intervalle du hast, desto mehr nähern sich O und U einander an.

Bei 10000 Intervallen erhältst du z.B.  

O₁₀₀₀₀  ≈ 41.67291687   und  U₁₀₀₀₀  ≈ 41.66041687 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Untersumme : 1.25 * ( f(0) + f(1.25) + f ( 2.5 ) + f (3.75 ) )
Obersumme : 1.25 * ( f(1.25) + f ( 2.5 ) + f (3.75 ) + f ( 5 ) )

( 27.34 + 58.59 ) / 2 = 42.97

Übers Integral 125 / 3 = 41.666

Comments

:)

Ich habe es verstanden. Wie sind Sie aber auf 125/3 gekommen?

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f = x²
S ( x ) = ∫ x² dx = x³ / 3
[ x³ / 3 ] zwischen 0 und 5
5 ³ / 3 - 0 ³ / 3
125 / 3