Injektive aber nicht surjektive Abbildung finden N -> N

Question

das ist die Musterlösung.. aber ich denke hier stimmt was nicht... die Beispiele sind doch alle auch Surjektiv, weil wir ℕ auf ℕ abbilden?

wo steckt mein Denkfehler?

mfg  

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also ich habe eigentlich nur das erste Beispiel angeguckt... mein Denkfehler war, dass ich 0 nicht zu den ℕ gezählt habe. Noch dazu stimmte auch nicht die Behauptung, dass die auch Surjektiv seien. Wenn schon, und es geht um das erste Beispiel, würde die Abbildung ohne 0 einzusetzen trotzdem noch Injektiv bleiben, denn dann würde sogar auch die 1 nicht getroffen werden. 

Kann geschlossen werden! 

mfg 

Answer 1

Dein Denkfehler ist die Annahme diese Funktionen seien surjektiv.

Was ist das Urbild bei der

1. Fkt von 1

2. Fkt von 3

3. Fkt von 3

4. Fkt von 2

Wie du siehst gibt es immer Elemente, die nicht im Bild der Funktionen liegen, das heißt die Funktionen sind nicht surjektiv. Bresche das IN abzählbar unendlich ist, deswegen sind hier Injektivität und Surjektivität nicht äquivalent!

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also ich habe eigentlich nur das erste Beispiel angeguckt... mein Denkfehler war, dass ich 0 nicht zu den ℕ gezählt habe. Noch dazu stimmte auch nicht die Behauptung, dass die auch Surjektiv seien. Wenn schon, und es geht um das erste Beispiel, würde die Abbildung ohne 0 einzusetzen trotzdem noch Injektiv bleiben, denn dann würde sogar auch die 1 nicht getroffen werden.

Kann geschlossen werden... 

mfg