4 Funktionen + 4 Konstanten

Question

f^III(x)=C1

f^II(x)=C1x+C2

f^I(x)=C1x²/2+C2x+C3

f(x)=C1x³/6+C2x²/2+C3x+C4

Wenn man jetzt 4 Bedingungen hat für f(x) kann man, dann alle 4 Konstanten bestimmen? oder benötige man "für jede Funktion"( f^III(x), f^II(x), f^I(x), f(x) ) je eine Bedingung um die 4 unbekannten Konstanten zu bestimmen?

Answer 1

Hallo probe,

wenn du 4 voneinander unabhängige Bedingungen einsetzt, erhältst du in jedem Fall ein LGS mit vier Gleichungen mit 4 Unbekannten, dessen Lösungsmenge du bestimmen kannst.

f '''(5) = 7    und  f'''(6) = 7    wären z.B  nicht als 2 unabhängige Bedingungen zu sehen.

3 Bedingungen mit  f "  auch nicht, weil die Gerade durch 2 dieser Bedingungen bereits bestimmt wäre. 

Es darf also für jede Gleichung höchstens so viele Bedingungen geben, wie sie Unbekannte (außer x) enthält.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank :)

Es darf also für jede Gleichung höchstens so viele Bedingungen geben, wie sie Unbekannte (außer x) enthält.

Vielleicht kannst Du diesen Teil kurz nochmal erklären.

Meinst Du damit, dass es nicht geht zum Beispiel dafür 4 Bedingungen aufzustellen:

fI(x)=C1x²/2+C2x+C3

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Genau,

für f '(x) darf es höchsten 3 Bedingungen geben ( + eine andere), für f(x) 4.

(es wären natürlich beliebige viele Bedingungen möglich, die - zum Beispiel durch Symmetrie - zu einer bereits gegebenen gleichwertig sind.)   

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Danke.

Kannst Du eine nicht unabhängige Bedingung aufstellen zum Beispiel für f´(x).. Geht dies überhaupt?

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Ich weiß nicht, was du damit meinst.

Von welcher Bedingung sollte die denn dann unabhängig sein?

2 nicht unabhängige Bedingungen mit f '  wären zum Beispiel f '(2) = 5 und f '(-2) = 5 bei einer zur y-Achse symmetrischen Funktion.

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Vielen Dank :)           

Naja das sind doch dann 2 verschiedene Gleichungen

5=C1 2+2C2+C3

5=C1 2-2 C2+C3

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Die Gleichungen sind nur verschieden, wenn c₂ ≠ 0 ist. Dann ist die Funktion aber auch nicht symmetrisch zur y-Achse :-) 

 (Sollte ja nur ein Beispiel sein :-)

Answer 2

Wenn man jetzt 4 Bedingungen hat für f(x) kann man, dann alle 4 Konstanten bestimmen?

Ja.

oder benötige man "für jede Funktion"( fIII(x), fII(x), fI(x), f(x) ) je eine Bedingung um die 4 unbekannten Konstanten zu bestimmen?

Ist nicht notwendig, würde aber auch funktionieren.

Answer 3

Man benötigt  "für jede Funktion"( f^III(x), f^II(x), f^I(x), f(x) ) je eine Bedingung um die 4 unbekannten Konstanten zu bestimmen.

Answer 4

Wenn man jetzt 4 Bedingungen hat für f(x) kann man, dann alle 4 Konstanten bestimmen?

Ja das kann man.