Es muss als v0-v1 ∈ U gelten und da mit jedem Element eines ℝ-Unterraumes U
auch alle reellen Vielfachen in U sind, müssen diese in deinem Unterraum sein.
Das genügt dann auch schon, der gesuchte Unterraum ist also Span({v0-v1 }),
also alle reellen Vielfachen von v0-v1 .
(i) Das ist ein Unterraum, da der Span einer beliebigen Menge von Vektoren von V immer
ein Unterraum von V ist. Falls ihr das noch nicht bewiesen habt, definiere
U = { v∈V | ∃x∈ℝ v=x*(vo-v1) } und zeige, dass diese Menge bzgl.
Addition und S-Multiplikation abgeschlossen ist, und den 0 Vektor enthält.
(ii) Es gilt vo ~U v1 , weil v0-v1 = 1* (vo-v1) und 1∈ℝ .
(iii) . Sei U2 ein anderer Unterraum, für den vo ~U v1 gilt, dann ist
nach Def. von ~ jedenfalls vo-v1 ∈ U2 und weil U2 ein Unterraum ist auch
alle reellen Vielfachen von vo-v1 ∈ U2, also U⊆U2. q.e.d.
