Oooh Freu !!! Liebe Paulina; Bei einer Kurvendiskussion ( KD ) haben wir eine ganz bestimmte Ordnung der Dinge einzuhalten. Die Nullstellen kommen immer als Erstes - ich zeig dir gleich warum.
f ( x ) = x ² ( x - 3 ) exp ( x ) ( 1 )
Ihr redet immer von dem " Satz om Nullprodukt " ; in Wirklichkeit handelt es sich darum, dass ===> Zahlenkörper ===> Nullteiler frei sind.
x1;2 = 0 ; x3 = 3 ( 2 )
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Eine gerade Nullstelle so wie hier x = 0 im Ursprung ist immer ein lokales Extremum. "
Unabhängig davon, was die Aufgabe will, ist jetzt die Asymptotik dran. Für x ===> ( + °° ) geht ( 1 ) asymptotisch gegen ( + °° ) wie die e-Funktion ( Alle Polynome haben bei Plus Unendlich positives Vorzeichen. ) Und was passiert bei Minus Unendlich? An sich stünde dann ja da " Null Mal Unendlich "
Diktat für FRS
" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "
Asymptotisch kommt ( 1 ) also von ( - 0 ) Wieso Minus; woher weiß ich das? Weil ungerade Polynome ( 3. Grad ! ) immer von Minus kommen.
An dieser Stelle sage ich immer
" Halt stop: Ableiten is noch lange nich. "
Weil ihr aus eurem schlechten Gewissen heraus immer differenziert wie die Weltmekster, ohne auch nur einmal zu fragen, was euch das bringt.
Ich zeig dir jetzt mal, was ich als Meister aller Klassen mit diesen spärlichen Informationen Nullstellen + Asymptotik anfange. Da er ja in ( - 0 ) verebbt, ist die Funktion für x < 0 negativ und vor allem BESCHRÄNKT .
1) Sie besitzt ein Minimum x1 ( min ) < 0
2) Dann folgt aber aus der Asymptotik ein WP x1 ( w ) < x1 ( min )
3) Das Extremum im Ursprung muss ein Maximum sein.
4) Überzeugen wir uns, dass im Einklang mit ( 1 ) f negativ wird auf ( 0 ; 3 ) ; diese Aussage ist konsistent mit Punkt 3)
5) Zwischen einem Minimum, hier x1 ( min ) und einem Maximum ( Ursprung ) liegt stets ein WP - wir haben x2 ( w ) gefunden.
6) Auf ( 0 ; 3 ) liegt x2 ( min )
7) Analog oben 5) haben wir x3 ( w ) entdeckt; damit ergibt sich der Slalom
x1 ( w ) < x1 ( min ) < x2 ( w ) < 0 < x3 ( w ) < x2 ( min ) ( 3 )
Finden wir die Punkte ( 3 ) nicht, sind wir SICHER, DASS WIR UNS VERRECHNET HABEN .
Die Punkte in ( 3 ) bedürfen keiner weiteren Abklärung durch höhere Ableitungen.
Erst wenn wir über ( 3 ) hinaus etwas finden sollten, sollten wir uns ernsthaft Sorgen machen.
Zur Bildung der ersten Ableitung schlage ich immer ===> logaritmisches Differenzieren vor, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens; ihr wisst, dass Logaritmieren die Rechenstufe um Eins erniedrigt.
ln ( y ) = 2 ln ( x ) + ln ( x - 3 ) + x ( 4a )
y ' / y = 0 = 2 / x + 1 / ( x - 3 ) + 1 | * HN ( 4b )
x ( x - 3 ) + x + 2 ( x - 3 ) = 0 ( 4c )
x ² = 6 ===> x1;2 ( min ) = -/+ sqr ( 6 ) ( 4d )
Da wir schon wissen, was wir erwarten, können wir sagen, das ist doch ganz optimal ist das. Aber wie bilden wir die 2. Ableitung mit den WP?
Dazu schreibe ich deine Formel erst mal Original ab.
f ( x ) = u v ( 5a )
u := x ³ - 3 x ² ( 5b )
v := exp ( x ) ( 5c )
Es gibt nämlich eine verallgemeinerte Produktregel; schau mal in Wiki unter ===> Leibnizregel. Leibniz erlaubt dir, die 4 711 . Ableitung von ( 5ab ) aus dem Stand zu bilden, ohne vorher umständlich die ersten 4 710 Ableitungen hinschreiben zu müssen; du das ist weiter nix wie der ===> binomische Lehrsatz. Für 2. Ableitung wäre dies etwa
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " ( 6a )
In ( 5c ) ist aber
v = v ' = v " ( 6b )
so dass in unserem Sonderfall
( u v ) " = ( u " + 2 u ' + u ) v = ( 7a )
= [ 6 ( x - 1 ) + 2 ( 3 x ² - 6 x ) + x ³ - 3 x ² ) ] exp ( x ) = 0 ( 7b )
x ³ + 3 x ² - 6 x - 6 = 0 ( 7c )
So ich schick erst mal ab, weil ich hier jede halbe Stunde System Updates kriege. Und dann stürzen jedesmal das Internet komplett und mein ganzes System ab ...
Aber ( 7c ) diskutiere ich noch - versprochen.
