Extremwertproblem mit 4 Aufgaben. Flugzeughangar, Bierdose, Rechteck, Quader

Question

Ich kann 4 Aufgaben nicht lösen und hoffe, dass einer von euch lösen könnt... Den restlichen mehrere Aufgaben, was hier nicht gezeigt wird könnte ich schon lösen .. Danke, wenn einer mir helfen kann !!

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Flugzeughangar

Die Seitenwand eines Flugzeughangars hat die Form eines Graphen einer Funktion f mit der Gleichung f(x) =  1/25 x^{4 -}- 2/3 x² + 9/5 . diese Gleichung gilt für I = [-1,84; 1,84].

In diese Seitenwand des Hangars soll ein Tor eingebaut werden. Die Fläche des Tores soll möglichst groß sein.

a) Begründen Sie durch entsprechende Berechnungen, warum die Angabe „I = [-1,84; 1,84]“ sinnvoll ist. (Hinweis: Nullstellenberechnung und Extrempunktermittlung für f)
b)  Zeichnen Sie den Graphen von f über I = [-1,84; 1,84].
c) Kennzeichnen Sie in dem Graphen von f das Tor des Hangars. (Hinweis: die x-Achse ist der Boden des Tors; die oberen Eckpunkte des Tors liegen auf dem Graphen von f)
d) Stellen Sie die Hauptbedingung für die Torfläche auf.
e) Stellen Sie die Nebenbedingungen auf.
f) Lösen Sie die Bedingungen. 

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Bierdose

Eine allseitig geschlossene zylinderförmige Bierdose soll das Volumen V haben.
Welche Maße müssen für Radius und Höhe des Zylinders gewählt werden, damit die Zylinderoberfläche (und damit der Blechverbrauch) minimal wird.

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Minimaler Umfang (Hier wunder ich mich wie das geht)

Welche Abmessungen muss ein Rechteck haben, damit der Umfang des Rechtecks bei gegebenem Flächeninhalt möglichst klein wird.
(Hier sollen Sie –ohne konkrete Zahlen – eine allgemeine Lösung finden)

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Quader (Hier klappt es bei mir nicht)

Welche Abmessungen sind für eine Quader mit möglichst großem Volumen zu wählen, wenn folgend Einschränkungen zu beachten sind:
- Länge, Breite und Höhe dürfen zusammen maximal 90 E betragen
- die Breite muss 2/3  der Länge betragen.

Answer 1

Bierdose

Eine allseitig geschlossene zylinderförmige Bierdose soll das Volumen V haben. Welche Maße müssen für Radius und Höhe des Zylinders gewählt werden, damit die Zylinderoberfläche (und damit der Blechverbrauch) minimal wird.

Zielfunktion

O = 2·G + M = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h   

Da wir in der Zielfunktion mherere abhängige Variablen haben sind nebenbedingungen aufzustellen um eine Variable durch eine andere zu ersetzen

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h
h = V/(pi·r^2)

Das setzen wir in dei Zielfunktion ein

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·v/(pi·r^2) = 2·pi·r^2 + 2·v/r

O' = 4·pi·r - 2·v/r^2 = 0
r = ³√(V/(2·pi))

h = V/(pi·r^2) = v/(pi·((V/(2·pi))^{1/3})^2) = ³√(4·V/pi) = 2·r