In solchen Fällen empfehle ich immer ===> logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens. Logaritmieren senkt ja die -rechenstufe um eins, wie du weißt.
Was du beim Logaritmieren allerdings verlierst - und da musst du jetzt Acht passen. Das sind die Nullstellen der Ausgangsfunktion, weil da der Logaritmus singulär wird. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Schmierzettel ( FRS )
" Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle wie deine 7-fache im Ursprung ist immer ein ===> Terrassenpunkt. "
Ich predige ja konstant
" Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Bedingungen. "
ln ( y ) = 4 x ^ 7 + 7 x + 7 ln ( x ) ( 1a )
y ' / y = 0 = 7 ( 4 x ^ 6 + 1 + 1 / x ) ( 1b )
4 x ^ 7 + x + 1 = 0 ( 1c )
Für euch Schüler erweist sich ja die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) als so nützlich, von der wir noch nicht mal im Studium etwas erfuhren. Gleich für x > 0 brettert sie auf einen Entartungsfall; hier wie soll denn die Summe von drei positiven Termen Null werden?
Für negative x sagt sie genau eine Wurzel voraus ===> Polynomdivision kann unterbleiben.
Die Ableitung hab ich dir jetzt gemacht, weil das jetzt deine Frage war. Aber meine ständige Rede ist ja, Ableiten is noch lange nich. Nach den Nullstellen ( hatten wir schon ) hat die Kurvendiskussion mit der Asymptotik zu beginnen; für x ===> ( - °° ) kriesst du ja sowas wie Null Mal Unendlich. Wieder Diktat für FRS
" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "
Damit ist klar: Asymptotisch verebbt sie in ( - 0 ) ; und zusammen mit dem Nulldurchgang erwarten wir tatsächlich dieses Minimum.
Jetzt gibt es allerdings eine Aussage, die ist so neu - vor 1975 ist sie nicht nachweisbar. Dein Lehrer hat wohl noch nichts davon gehört; ich meine den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Neben Ganzen wären in deinem Falle nur Halbe und Viertel zugelassen - noch nie war ein Irrationalitätsbeweis so einfach. Ich selbst befrage immer Wolfram.
