Differentialgleichung mit Produktansatz Bernoulli

Question

Homogenes Dirichlet-Problem mit Bernoullischem Produktansatz

Hallo alle zusammen hat jemand von euch eine Idee wie ich bei dieser Aufgabe ran gehen soll?

Produktansatz:

delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0

Aber wie soll man da weiter vorgehen ?
Echt schwere Aufgabe

Answer 1

delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0

Aber wie soll man da weiter vorgehen ?

An dieser Stelle kommt die immer gleiche Pointe. Schau Dir dazu die vorgefuehrten Beispiele an. Wellengleichung oder Waermeleitung wird man Dir doch vorgefuehrt haben, oder etwa nicht?

Comments

delta u =W“(x)*Y(y) +Y“(y)*W(x)=0

W"(x)/W(x) = - Y"(y) /Y(y) = K

W"(x) = K*W(x)

Y"(y) = -K*Y(y)

Zweite Term charakteristisches Polynom:

lambda^2 +K = 0

lambda 1 , 2 = +-i√K

Das war ja der Fall K>0

Y(y) =c_1*sin(√K *y)+c_2* cos(√K *y)

Grenzen x = 0, y= 1 einsetzen oder?

Y(0) = c_2 = 0

Y(1) = bleibt nur sin term übrig also :

sin(√K *1)= 0 Richtig soweit ?

K= 0

Y(y) = c_1*y+c_2

Y(0) = c2=0

Y(1) = c_1 = 0 Richtig ?

Fall K<0

charakteristisches Polynom :

lambda^2 = K

lambda1,2 = +-√K

Y(y)  = c_1*e^{√K *y}+c_2* e^{√K *y}

Y(0) = c_1=c_2 = 0

Y(1) = dann würde die e FUnktion übrig bleiben ?

Stimmt das alles?

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Man kann die Lösung auch raten: \(u(x,y)=2xy\) passt ja wohl. Die kommt aus dem Fall \(K=0\).