Differenzierbarkeit und offene Mengen

Question

warum muss bei der Differenzierbkeit in einem Punkt x immer die offene Menge vorausgesetzt werden . Was ist der Grund dafür

Answer 1

das liegt an der Definition:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Definitionen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, .... deren Definitionsbereich D ein offenes Intervall reeller Zahlen ist.
..........
Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an der Stelle x₀ ihres Definitionsbereichs, wenn der beidseitige Grenzwert der Differenzenquotienten .....

Wenn statt  \(\lim_{x \to x_0}\frac { f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 }\)

nur ein einseitiger Grenzwert existiert, spricht man von "linksseitig bzw. rechtsseitig differenzierbar"

Gruß Wolfgang