Funktion mit 2 Variablen, Grenzwert bestimmen

Question

Gesucht ist der Grenzwert, oder halt der Beweis das kein Grenzwert existiert.

$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \cfrac { (x-1)(y-1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } -1 }  } $$

Irgendwie muss ich die Wurzel aus dem Nenner bringen, aber ich probier schon ständig herum, finde hier keine Lösung.

Habt ihr irgendwelche Ideen ?

Edit: Korrektur aus Kommentar

Comments

Ist das ueberhaupt richtig wiedergegeben? Der Radikand wird nahe (1,1) negativ ...

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√ [(x-1)*(y-1) - 1 ]
√ [ 0 * 0 - 1 ]
√ [ - 1 ]
Nicht definiert.

Meine Meinung.

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Ach tut mir leid, du hast recht. So ist die Angabe:

$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \cfrac { (x-1)(y-1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } -1 }  }  $$

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Tut mir leid, fehler in der Angabe:

So ists richtig:

$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \cfrac { (x-1)(y-1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } -1 }  }  $$

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$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \cfrac { (x-1)(y-1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } -1 }  } $$

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Fuer Analysis II sollte man den alten, langweiligen Trick mit der dritten Binomischen langsam kennen.

Alternativ mit der Binomialreihe: \(\sqrt{1+u}=1+u/2+O(u^2)\).

Nachtrag: Die Aufgabe hat aber einen Haken.

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Danke für den Tipp, hatte vorher schon binomische formeln im Kopf, aber das irgendwie nich richtig angewandt .

Ich komme dann nach dem Kürzen, auf den Grenzwer 2. Kann das stimmen, wo ist der Haken ?

$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \cfrac { (x-1)(y-1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } -1 }  } *\quad \frac { \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } +1 }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 } +1 } =\quad \lim _{ (x,y)\quad \rightarrow (1,1) }{ \frac { (x-1)(y-1)( \sqrt { (x-1)(y-1)+1 }+1)  }{ (x-1)(y-1)+1-1 }  } \quad \lim _{ (x,y)\quad \rightarrow (1,1) }{ \sqrt { (x-1)(y-1)+1 }  } +1\quad =\quad 2 $$

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Ja, schoen. So wollte ich es zuerst auch machen. Der Haken ist, dass die Rechnung so nicht durchgeht. Tatsaechlich existiert der Grenzwert gar nicht. Betrachte dazu die Funktion auf den Geraden x=1 bzw. y=1.

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Wie begründet man dann das mathematisch ?

Ich darf

$$ \frac { (x-1)(y-1) }{ (x-1)(y-1) }  $$

gar nicht kürzen oder? das war der Fehler, weil man nicht durch 0 teilen darf.

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Bestimme und skizziere doch mal den Definitionsbereich D der Funktion.

Immerhin ist (1,1) ein Haeufungspunkt von D. Man kann wie oben den Limes für x→(1,1) in D ausrechnen.