Zeigen, dass f(x) = x2 nicht auf ganz R gleichmäßige stetig ist.

Question

zu zeigen ist, dass $$f(x) = x^2$$ nicht gleichmäßig stetig auf $$\mathbb{R}$$ ist. Es gilt ja $$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$$ Sei nun $$\varepsilon = 1$$ Wie findet man denn für beliebiges $$\delta>0$$ geeignete Werte x und y, um zu zeigen, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?

Comments

Tipp: Sei x> 0 und y> 0.

f(x) = x² ist steiler je weiter weg von 0 das x ist.

x²-y²

= (x+y)(x-y)

= (x+y)*ε

= x+y  wegen ε = 1

≥ 2x - 1  , weil y = x+1 oder y= x-1

2x - 1 kann beliebig gross gewählt werden.

Also auch grösser als d.

2x - 1 > d

2x > d + 1

x > (d+1)/2

(ohne Gewähr)

Answer 1

Du kannst Deinen eigenen Anfang weiterspinnen. Nachdem Du $\varepsilon=1$ festgelegt hast, verbleibt von der Annahme $x\mapsto x^2$ waere gleichmaessig stetig noch $$\exists\delta>0\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}:|x-y|<\delta\,\,\Rightarrow\,\,|x^2-y^2|<1.$$ Die Negation dazu ist $$\forall\delta>0\,\,\exists x,y\in\mathbb{R}:|x-y|<\delta\,\,\wedge\,\,|x^2-y^2|\ge1.$$ Um das zu zeigen, kannst Du z.B $x>0$ und $y=x+\delta/2$ ansetzen. Und jetzt bestimme eben $x$ in Abhaengigkeit von $\delta$ so, dass $|x^2-y^2|\ge1$ wird.

Comments

hab eine Frage dazu: wählt man x = 1/δ ?

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Ist jedenfalls das Naheliegendste

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danke. ja meinte eigentlich also s/δ ,  1 ≤ s ∈ R

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Wie kommst du auf dein y? Ich versuche gerade diese Aufgabe nachzuvollziehen. Tuhe mir aber schwer

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Wie kommst du auf dein y?

Man wählt $\delta>0$ und lässt $x$ erstmal beliebig. Dann überlegt man sich wie man $y$ wählen kann, s.d.

$$| x - y | < \delta$$

Das heißt $x$ und $y$ haben den Abstand $\delta$. Also wählt man z.B.

$$y = x +\frac{\delta}{2}$$