Funktion bestimmen ; Graphen Zeichnen. Kraftwert und Aluminiumhütte: Kabelkosten 700€/m an Land und 1200€/m im Fluss.

Question

Bitte helft mir, komme nicht weiter.

Ein Kraftwerk, das 5km flussaufwärts einer Aluminiumhütte liegt, soll
dieser elektrische Energie liefern. Kraftwerk und Aluminiumhütte liegen
an entgegengesetzten Ufern des 200m breiten Flusses.

Die Kabelkosten betragen 700€/m an Land und 1200€/m im Fluss.

Zur Kostenoptimierung wird das Kabel vom Kraftwerk weg schräg durch
den Fluss gelegt und kommt auf der anderen Seite x Ufermeter
flussabwärts vom Kraftwerk an.

Skizziere die Situation

Bestimme die Funktion K(x) (Kabelkosten in € als Funktion von x)
Zeichne den Graphen von K(x) im Bereich 0 .. 500m
Wo ist das Optimum (graphisch, Ableiten kommt später)?

Answer 1

Skizze:

 

 

Es sind x Meter an Land und nach Pythagoras

y = √ ( 200 ² + ( 5000 - x ) ² )

Meter durch den Fluss zurückzulegen.

Die Funktion K ( x ) für die Kabelkosten in Abhängigkeit von der Länge der Landstrecke x lautet daher:

K ( x ) = x * 700 + √ ( 200 ² + ( 5000 - x ) ² ) * 1200

Die Funktion sieht im relevanten Bereich (dieser soll sicherlich 0 ... 5000 m betragen) so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+*+700+%2B+%E2%88%9A+%28+200+%C2%B2+%2B+%28+5000+-+x+%29+%C2%B2+%29+*+1200+from4500to5000

Man erkennt, dass bei etwa x = 4860 m ein Minimum der Kostenfunktion vorliegt. Die Landstrecke auf der Hüttenseite sollte also etwa 4860 Meter lang sein, betragen. Die Strecke über den Fluss muss dann etwa 244 Meter lang sein.