Flächeninhalt berechnen - gebrochen rationale Funktion

Question

∫ [(4e)/(2x+1)] dx

obere Grenze:   10

untere Grenze:   -1/3

Answer 1

Hallo Tomey,

leitest Du \(f(x)=\ln(x)\) ab, so ist das \(f(x)=1/x\). Bei

$$f(x) = \ln(2x+1) \quad f'(x) = \frac{2}{2x+1}$$

Der Faktor \(4e\) in dem Integral ist ein Konstante, den kannst Du ganz oder teilweise vor das Integral schreiben - also

$$2e\int_{-\frac13}^{10} \frac{2}{2x+1} \, \text{d}x = 2e \cdot \left. \ln(2x+1)\right|_{-\frac13}^{10} = 2e\cdot \left( \ln(21) - \ln(\frac13)\right) = 2e \cdot \ln(63) \approx 22,52$$

Comments

wie man von 4e auf 2e kommt, verstehe ich grade nicht.

Danke für die schnellen und hilfreichen Antworten !!

---

Werner hat gerechnet
[  ln ( 2x + 1 ) ] ´ = 2 / ( 2x +1)
nun ist der Term aber
(4e) / ( 2x +1)
oder
2e *  2 / ( 2x + 1 )
∫ 2e *  2 / ( 2x + 1 )
oder
2e * ∫ 2 / ( 2x + 1 ) dx

---

Danke Georg,

für die Aufklärung des Sachverhalts.

Gruß Werner

Answer 2

∫(1/u)du=ln(u) und u=2x+1.Dann ist u'=2. Also ∫1/(2x+1)dx=1/2·ln(2x+1). 4e ist  ein konstanter Faktor, der erhalten bleibt

∫ [(4e)/(2x+1)] dx=4e·1/2·ln(2x+1)=2e·ln(2x+1). Hier die Grenzen einsetzen und subtrahieren.

Answer 3

Allgemein
Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners
steht ist die Stammfunktion ein Logarithmus

[ ln ( term ) ] ´ = term ´/ term

[ ln ( 2x + 1 ) ] ´ = 2 / ( 2x + 1 )
die 2 stört noch
[ 1 / 2 * ln ( 2x + 1 ) ] ´ = 1 / ( 2x + 1 )

∫ 4e * 1 / ( 2x + 1 ) dx
4e * ∫ 1 / ( 2x + 1 ) dx
4e * 1/2 * ln ( 2x + 1 )
2e * ln ( 2x + 1 )

Die Richtigkeit der Stammfunktion
kann durch probeweises Ableiten
überprüft werden.

Ansonsten noch das Integral
in den gegebenen Grenzen berechnen.

zur Kontrolle
A = 22.52