Question

Finde die Gleichung von einem Kreis mit dem Mittelpunkt M(4|-1), welcher die Line y = -0.5x + 8 berührt

Der erste Schritt ist ja klar: (x-4)² + (y+1)²

Wie kommt man dann aber auf  (x-4)² + (y+1)² = 39.2?

Answer 1

Bestimme den Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden

y = -0.5x + 8

0.5x + y - 8 = 0

x + 2y - 16 = 0

d = |x + 2y - 16| / √(1^2 + 2^2)   [Abstandsformel der Geraden]

Hier also den Kreismittelpunkt einsetzen

r = |(4) + 2(-1) - 16| / √(1^2 + 2^2) = 14/5·√5

Also

K: (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = (14/5·√5)^2 = 196/5 = 39.2

Comments

Ich verstehe es leider ab der 4. Zeile nicht, da wir es in der Schule nicht so vertieft angeschaut.

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Dann bestimme den Abstand auf einen dir bekannten weg. Also Lotgerade durch den Kreismittelpunkt legen und Schnittpunkt mit der Geraden berechnen.

y = 2·(x - 4) - 1 = - 0.5·x + 8 --> x = 6.8

y = - 0.5·6.8 + 8 = 4.6

r^2 = (6.8 - 4)^2 + (4.6 - (-1))^2 = 39.2

Answer 2

Zunächst die Skizze ( symbolisch )

Der kürzeste Abstand ist der Radius r

Eine Tangente ist die Funktion
t ( x ) = -0.5 * x + 8
Eine Normale ist eine zur Tangente senkrecht
verlaufende Funktion.
Die Normale hat die Steigung
m2 = -1/m1 = - 1 / -0.5
m2 = 2
Die Normale geht durch den Mittelpunkt ( 4 | -1 )
-1 = 2 * 4 + b
b = -9

n ( x ) = 2 * x - 9

Schnittpunkt zwischen n und t
-0.5 * x + 8 = 2 * x - 9
2.5 x = 17
x = 6.8
y = 2 * 6.8 - 9
y = 4.6
( 6.8 | 4.6 )

r^2 = ( -1 - 4.6 ) ^2 + ( 4 - 6.8 )^2
r^2 = 39.2
r = 6.26