koordinatengleichung der tangenten an k:(x+2)^2+y^2=625 die parallel zu g:7x-24y+9=0

Question

die frage steht schon im titel :)

Answer 1

7·x - 24·y + 9 = 0 --> y = 7/24·x + 3/8

-1/(7/24) = -24/7

Senkrechte Gerade durch Kreismittelpunkt in die Kreisgleichung einsetzen

(x + 2)^2 + (- 24/7·(x + 2))^2 = 625 --> x = -9 ∨ x = 5

- 24/7·(-9 + 2) = 24

- 24/7·(5 + 2) = -24

Die Tangenten lauten also

y = 7/24·(x + 9) + 24

y = 7/24·(x - 5) - 24

Skizze:

Comments

Hallo coach,
welch seltenes Ereignis :
3 Experten 3 Meinungen.
Muß ich einmal überprüfen.

Answer 2

( x + 2 ) ^2 + y^2 = 625
5x - 24 y + 9 = 0

y = √ ( 625 - ( x - 2 ) ^2 )
y = -9/24 - 5/24 * x

Steigung der Tangente
-5/24

( -3.1 | 24.47 )

Comments

Schau mal deine Geradengleichung und das Original an.

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Korrektur
( -5 | 24 ) habe ich jetzt auch heraus.

Bitte direkt sagen
anstelle
5x - 24 y + 9 = 0
muß es heißen
7x - 24 y + 9 = 0
Das erspart mir nämlich Arbeit.

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Was ist eigentlich der Unterschied
Koordinatengleichung der Tangenten
und
Gleichung der Tangenten
?

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Das erspart mir nämlich Arbeit.

Lach. Mir aber nicht. Und wer sagt denn, das ich dir das denken abnehmen wollte.

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Koordinatengleichung der Tangenten

Die Koordinatengleichung hat die Form

ax  + by = c

Ich habe sie nicht angegeben, weil ich ja mal davon ausgehe, dass der Fragesteller etwas auch selber machen kann.

Answer 3

Es geht um eine Tangente mit der Steigung 7 an eine Ellipse.

Ellipsengleichung nach y aufgelöst und abgeleitet: y'=(x+2)/±√(-x²-4x+621). (x+2)/±√(-x²-4x+621)=7 hat die Lösungen x₁=-26 und x₂=22. Die Punkte an diesen Stellen sind die Berührpunkte. Die Punkt-Steigungs-Form ergibt dann die Tangentengleichungen.

Comments

Die Ellipse ist ein Kreis.

Answer 4

Mögliche Gleichungen der Tangenten an k:(x+2)^2+y^2=625, die parallel zu g:7*x-24*y=-9 verlaufen, lassen sich zum Beispiel so bestimmen:

Löse das Gleichungssystem (x+2)^2+y^2=625 und 7*x-24*y=a nach (x,y) auf. Setze nun die in den Lösungen enthaltene Diskriminante 390429-28*a-a^2 gleich Null, um herauszufinden für welche a die Determinante verschwindet. Dies ist für a∈{-639, 611} der Fall. Damit ergeben sich die Gleichungen

7*x-24*y=611 und 7*x-24*y=-639.

Comments

Auf dem oben beschriebenen Lösungsweg wird die Bestimmung der Berührpunkte umgangen. Alternativ dazu ist es aber auch möglich, über die Berührpunkte zu den Tangentengleichungen zu gelangen:

Offenbar ist die Gerade mit der Gleichung 24*x+7*y=-48 diejenige Orthogonale zu den beiden gesuchten Tangenten, die durch den Kreismittelpunkt geht. Ihre Schnittpunkte mit der Kreislinie sind die Berührpunkte. Durch Auflösen des Gleichungssystems (x+2)^{2}+y^{2}=625 und 24*x+7*y=-48 nach (x,y) kommt man zu den Berührpunkten (5|-24) und (-9|24) und darüber zu den Tangentengleichungen

7*x-24*y=7*5-24*(-24) und
7*x-24*y=7*(-9)-24*24

also

7*x-24*y=611 und
7*x-24*y=-639

wie oben.

Answer 5

Koordinatengleichung der Tangenten an k:\((x+2)^2+y^2=625 \) die parallel zu

g: \(7x-24y+9=0\) sind.

Weg über das implizite Differenzieren:

\(k(x,y)=(x+2)^2+y^2-625 \)

\(k_x(x,y)=2(x+2) \)

\(k_y(x,y)=2y\)

\(k'(x)=- \frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x+2}{y}\)

g: \(7x-24y+9=0\)  →\(m=\frac{7}{24}\)

\(\frac{7}{24}=-\frac{x+2}{y}\)

\(y=-\frac{24}{7}(x+2)\) Diese Gerade schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.

Dann mit der Punktsteigungsform der Geraden die beiden Tangenten bestimmen.

Answer 6

Ein Ansatz direkt über die Koordinatenform der Geraden:

- Die Parallelität liefert \(7x-24y=0\) als Ursprungsgerade.

- Verschiebung der Geraden, so dass sie durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft: \(7(x+2)^2-24y=0\).

- Ein Normalenvektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}7 \\-24\end{pmatrix}\) und hat die Länge \(|\vec{n}|=25\). Das entspricht genau dem Radius.

- Verschiebung der Geraden entlang des Normalenvektors in beide Richtungen liefert

\(7(x+2+7)-24(y-24)=0\) und \(7(x+2-7)-24(y+24)=0\) bzw.

\(7(x+2)-24y+625=0\) und \(7(x+2)-24y-625=0\).

Allgemein erhält man die Tangenten bei einer vorgegebenen Geraden \(n_1x+n_2y-c=0\) und eines vorgegebenen Kreises \((x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2\) wie folgt:

\(n_1(x-x_M)+n_2(y-y_M)\pm r|\vec{n}|=0\) oder

\(\frac{n_1(x-x_M)+n_2(y-y_M)}{|\vec{n}|}\pm r=0\),

auch bekannt als Hesse'sche Normalform.