(a)
Hier muss man einfach nur die Gruppenaxiome nachrechnen.
Assoziativität:
[spoiler]
Für \(g_1, g_2, g_3\in G\) und \(h_1, h_2, h_3\in H\) ist \[ \left((g_1, h_1)\bullet(g_2, h_2)\right)\bullet(g_3, h_3) = (g_1 * g_2, h_1 \diamond h_2)\bullet(g_3, h_3) = (\left(g_1 * g_2\right) * g_3, \left(h_1 \diamond h_2\right)\diamond h_3) = (g_1 * \left(g_2 * g_3\right), h_1 \diamond \left(h_2\diamond h_3\right))= (g_1, h_1)\bullet(g_2 * g_3, h_2\diamond h_3) = (g_1, h_1)\bullet\left((g_2, h_2)\bullet(g_3, h_3)\right)\text{.}\]
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Neutrales Element:
[spoiler]
Mit den neutralen Elementen \(e_G\in G\) und \(e_H \in H\) erhält man \[(e_G, e_H)\bullet(g, h) = (e_G * g, e_H\diamond h) = (g, h)\] und \[(g, h) \bullet (e_G, e_H) = (g * e_G * g, h\diamond e_H) = (g, h)\] für alle \(g\in G\) und alle \(h\in H\). Damit ist \((e_G, e_H)\) neutrales Element bzgl. \(\bullet\).
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Inverse Elemente:
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Seien \(g\in G\) und \(h\in H\) beliebig. Dann gibt es entsprechende Inverse Elemente \(g^{-1}\in G\) und \(h^{-1}\in H\) und es ist \[(g, h)\bullet(g^{-1}, h^{-1}) = (g * g^{-1}, h \diamond h^{-1}) = (e_G, e_H)\] und \[(g^{-1}, h^{-1})\bullet(g, h) = (g^{-1} * g, h^{-1} \diamond h) = (e_G, e_H)\text{.}\] Damit ist dann \((g^{-1}, h^{-1})\in G\times H\) das inverse Element zu \((g, h)\in G\times H\).
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(b)
Man findet den Erzeuger \(([1]_3, [1]_4)\in\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\).
\(0\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([0]_3, [0]_4)\)
\(1\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([1]_3, [1]_4)\)
\(2\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([2]_3, [2]_4)\)
\(3\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([3]_3, [3]_4)=([0]_3, [3]_4) \)
\(4\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([4]_3, [4]_4)=([1]_3, [0]_4) \)
\(5\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([5]_3, [5]_4)=([2]_3, [1]_4) \)
\(6\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([6]_3, [6]_4)=([0]_3, [2]_4) \)
\(7\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([7]_3, [7]_4)=([1]_3, [3]_4) \)
\(8\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([8]_3, [8]_4)=([2]_3, [0]_4) \)
\(9\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([9]_3, [9]_4)=([0]_3, [1]_4) \)
\(10\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([10]_3, [10]_4)=([1]_3, [2]_4) \)
\(11\cdot ([1]_{3}, [1]_{4}) = ([11]_3, [11]_4)=([2]_3, [3]_4) \)
Wegen \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4=\langle([1]_{3}, [1]_{4})\rangle\) ist \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4\) zyklisch.
(c)
Die Mächtigkeit der Menge \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) ist \[\lvert\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\rvert=\lvert\mathbb{Z}_4\rvert\times\lvert\mathbb{Z}_6\rvert = 4 \cdot 6 = 24\text{.}\]
Wenn die Gruppe \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) zyklisch wäre, müsste es ein Element der Ordnung 24 geben. Jedoch ist \[12\cdot([a]_{4}, [b]_6) = ([12a]_{4}, [12b]_6) = ([0]_{4}, [0]_6) \] für alle \(([a]_{4}, [b]_{6})\in\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\), so dass jedes Element in \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) höchstens Ordnung 12 hat.
Demnach ist die Gruppe \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_6\) nicht zyklisch.
