Zeigen Sie, dass die x-Koordinaten der Extrempunkte von fk nicht von k abhängen

Question

Hallo :)

Aufgabe: Die Funktion fk(x)=0,0001*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x beschreibt für k>0 und x ∈(0;120) die momentane Änderungsrate der Länge einer Warteschlange am Eingang eines Museums in

Personen pro Minute (x in Minuten). Zum Zeitpunkt x=0 (10Uhr) stehen 100 Personen in der Schlange. Der Graph für k=3 ist in Fig.1 dargestellt.

a) steht im Titel und ich weiß gar nicht wie ich vorgehen soll. Wir haben Funktionenscharen nicht wirklich behandelt, deshalb verstehe ich die Aufgabe nicht ganz.

b) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Schlange am längsten ist.

Hier würde ich den Hochpunkt der Funktion ausrechnen.  Ich habe versucht die Ableitung zu bilden, aber sie ist falsch und ich weiß wegen k nicht wie ich sie richtig ableiten soll.

c) Zeigen Sie: Die Schlange ist nach 120 Minuten wieder genauso lang wie am Anfang.  (Dazu steht im Buch als Lösung Integral von 0 bis 120, würde aber gerne wissen, warum man das hier so ausrechnet?)

Wäre hilfreich für meine mündliche Prüfung, wenn ihr die Aufgabe ausführlich beantworten könnt. Bitte nicht einfach die Lösung hinschreiben, denn das hab ich schon. Ich muss die Aufgabe verstehen.

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Comments

fk(x)=0,0001*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x
bei dir in der Fragestellung fehlt ein " k ".
fk(x)=0,0001k*x^3-0,018k*x^2+0,72k*x

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oh hab ich übersehen :o danke

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So, ich habe mir mal erlaubt, das Bild zu drehen. Das Beschneiden auf das Wesentliche erspare ich mir.

Answer 1

Ich gehe einmal nicht auf den Sachzusammenhang
ein sondern beschränke mich auf die Frage
f := 0.0001 * k * x^3 - 0.018*k * x^2 + 0.72*k * x

Zeigen Sie das die Extremwerte der Kurvenschar
unabhängig von k sind.
Graphen von k=1, 2 , 3

Extremwert : 1.Ableitung = 0
f ( x ) = 0.0001 * k * x^3 - 0.018*k * x^2 + 0.72*k * x
f ( x ) = k * ( 0.0001 * x^3 - 0.018 * x^2 + 0.72 * x )
f ´( x ) = k * ( 0.0003 * x^2 - 0.036 * x + 0.72 )
Stellen mit waagerechter Tangente
0.0003 * x^2 - 0.036 * x + 0.72 = 0
Man kann diese Stellen jetzt ausrechnen.
Es kommt aber kein k mehr vor.
k spielt keine Rolle für die Lage der Extremstellen.

Falls du weitere Fragen hast oder Erklärungen
benötigst dann melde dich wieder.

Comments

Dankeschön, endlich eine vernünftige Antwort :)

Anhand ihrer Abbildung erkennt man eigentlich, dass die Extremwerte der unterschiedlichen k Werte schwanken. Dann können sie doch gar nicht unabhängig von k sein oder?

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Jetzt mußt du genau lesen :
In der Frage heißt es :
zeigen sie das die x-Koordinaten der Extremwerte...
dieselben sind.
Wie die Grafik zeigt sind die x-Stellen dieselben,
die Funktionswerte f ( x ) sind unterschiedlich.

So ganz pingelig : der Fragetext ist auch schon falsch.
Es muß x-Stelle oder
( x | y ) Koordinaten heißen.

Beispiel
( 3 | 4 )
x = 3 ( Stelle , ein Wert )
( 3 | 4 ) Koordinaten ( zwei Werte )

x-Koordinaten ist falsch.

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So ganz pingelig : der Fragetext ist auch schon falsch.
Es muß x-Stelle oder
( x | y ) Koordinaten heißen.

Beispiel
( 3 | 4 )
x = 3 ( Stelle , ein Wert )
( 3 | 4 ) Koordinaten ( zwei Werte )

x-Koordinaten ist falsch.

Die Bezeichnung "x-Koordinate" ist durchaus geläufig und völlig richtig!

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ok Vielen Dank @georgborn! Jetzt habe ich es verstanden :)

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

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Um die Unabhängigkeit der Extremstellen der f_k von k zu zeigen, genügt es, k auszuklammern und einen Blick auf das Ergebnis zu werfen:

f_k ( x ) = k * ( 0.0001 * x^{3} - 0.018 * x^{2} + 0.72 * x )

Die Extremstellen von f_k finden sich unter den Nullstellen der Ableitung der Klammer und die enthält kein k.

Die Ableitung muss also gar nicht erst bestimmt werden.

Diese Überlegung dürfte auch der Lösungsweg sein, den der Konstrukteur der Aufgabe erwartet hat.

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@Gast az0815 dankeschön! Genau das mit Ausklammern hat mir auch ein Mitschüler vorgeschlagen.

Answer 2

f_k(x)=0,0001*x³-0,018k*x²+0,72k*x Extrempunkte sind Nullstellen der ersten Ableitung. Diese findet man genauso,wie wenn an der Stelle von k eine Zahl stünde:

f '_k(x)=0,0003*x²-0,036k*x+0,72k

Die Lösungen der quadratischen Gleichung 0)=0,0003*x²-0,036k*x+0,72k hängen selbstverständlich von k ab.Da kann man das Gegenteil nicht zeigen.

Comments

Erstmal danke :)

In den Lösungen steht jedoch bei a), dass der Graph der Funktion für x=60+√1200≈94,64 einen Tiefpunkt und für x=60-√1200≈25,36 einen Hochpunkt hat. Diese Koordinaten hängen nicht von k ab.

Ich verstehe nicht, wie die Lösungen das dadurch erklären können. Können Sie vielleicht drauf eingehen?

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hat sich durch Überschneidung erledigt

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Wie Überschneidung?

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Die Beiträge von hj2166 sind oft rätselhaft. Er wird deine Nachfrage ignorieren.

Es sind vielleicht nicht die Extrema von f_k(x) gemeint.

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Der ursprüngliche Kommentar lautete "R. weigert sich, ein fehlendes k selbständig zu ergänzen." und sollte auf den vergessenen Faktor im ersten Summanden aufmerksam machen. Dessen Fehlen und eine entsprechende Korrektur waren aber während ich den Kommentar schrieb (daher "Überschneidung") bereits von GB. angemerkt worden.
Mein Kommentar war also nicht mehr erforderlich.

Answer 3

 Oh bezaubernde amomine Schöne ( Auch mal ===>  Enid Blyton gelesen? )

     a)  Ich notiere sie erstmal in Normalform.

    f_k ( x )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  1a  )

     a2  =  -  180  k  ;  a1  =  7 200  k  ;  a0  =  0    (  1b  )

       Und ihre Ableitung eben Falls in Normalform  ( Ich nenne sie g )

        g_k  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q  =  0      (  2a  )

       p  =  60  k  ;  q  =  2 400  k     (  2b  )

       Kennst du das kalifornische Psychiater_Eherpaar Antonio und Margarete ===>  Damasio und ihre Forschungen über die ===>  Amygdala?  Die wissenschaftliche Widerlegung des ===>  Vulkaniers  ===>  Spock  von der ===>  Enterprise .  Gerade was deine Aufgabe anlangt, möchte ich einen typischen Frankfurter Spruch zitieren

   " Isch habb da soo koomisch Gefühl; des hat misch noch nie getrooche ... "

       Hättest du dich nur entschließen können, Wolfram zu konsultieren - dir hätte auffallen müssen, dass es gar keinen Fixpunkt gibt.

   Was du als Schülerin vielleicht nicht so drauf hast. ( 2a ) sagt doch aus, dass Extrempunkt  x eine  ===>  implizite Funktion von diesem Parameter k ist.   Gehen wir dochmal ganz frech her und leiten ( 2a )  nach k ab;  ===> implizites Differenzieren.  Ich sag dir auch gleich warum.  Beachte die Kettenregel.

     2  x  ( dx/k )  -  60  x  -  60  k  ( dx/dk )  +  2 400  =  0  (  3a  )

       Was wir doch suchen, ist ein ===>  Fixpunkt; eine  Extremlösung von  ( 2a ) ,  die nicht von k abhängt.  Notwendige Bedingung für Fixpunkt  in ( 3a ) :  ( dx/dk ) = 0

    60  x  =  2 400  ===>  x  (  extr  )  =  40      (  3b  )

    Aber das ist nur die notwendige Bedingung; jetzt erhebt sich die schicksalsschwere Frage: Wie macht man die Probe auf die quadratische Gleichung ( 2ab ) ?  Tjaa; bei unserer Frau Gumboldt ( ei der wir jede Stunde geschunkelt haben; " Im Wald da sind die Räuber " ... )  habe ich da auch imer  vergebens drauf gewartet, dass die uns das mal erklärt ...

   Vieta das geschmähte Stiefkind.  In ( 3b ) hatten wir  gesagt x1 = 40 .

    q  =  x1  x2  =  40  x2  =  2 400  k  ===>  x2  =  60  k    (  4a  )

  p  =  x1  +  x2  =  40  +  60  k  =  60  k  ===>  40  =  0  ; Widerspruch  (  4b  )

   

     Eigentlich ist klar, was in  ( 4b ) passiert.  Tu dochmal in ( 2ab ) einsetzen x0 = 40 . Dann hebt sich nämlich der p-Term des Polynoms gegen den q-Term komplott weg; und allein   x ² überlebt, was ja immer positiv ist.    FÜR KEINEN WERT VON K  kann x0 = 40  EXTREMSTELLE SEIN; so looks it out ....

    Gut als Ehrenrettung.  Fällt mir eben grade ein;  Fixpunkt ist es schon .   Aber in ( 2ab ) hast du wie gesagt den Wert

     g  (  fix  )  =   40  ²     (  5  )

    Aber da waren wir ja gar nicht dran intressiert.

   Den Damen muss man ja immer Komplimente machen; sag ich mal, eine der interessantesten Aufgaben seit Jahrenden ...

Comments

Kennst du das kalifornische Psychiater_Eherpaar
Antonio und Margarete ===>  Damasio und ihre Forschungen über die ===>  Amygdala?

Laß dich doch dort auch einmal untersuchen.

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  Hier ich bin eine Kreuzung zwischen ===>  Schwejk und ===>  Louis Trenker;  mein Anekdotenschatz ist unerschöpflich.  Apropos  "  Kompliment "

   Manche Damen sind naiv.  Ich kannte mal eine gehbehinderte Dame, die gab ihr Alter ( durchaus glaubhaft ) mit 91 an.   Nennen wir sie Rosa_Linda; mein allgemeiner Witzname  für Frauen.

   Da ich  weiß, was sich gehört und sie eine gute Gesellschafterin war, spendierte ich ihr Kaffee und Kuchen. Dies war aber erst Akt Eins der Tragödie.  Mir fiel nämlich auf, dass sie täglich die Mühsal auf sich nahm, aus der Nachbargemeinde mit der S-Bahn anzureisen, nur  um von mir täglich diesen Kuchen spendiert zu bekommen. Aber da war noch mehr.

  Als sie  so 20 war, wurde sie natürlich von den ganzen Kavalieren ausgeführt und  unausgesetzt bewundert - aus ihren Erzählungen wurde das  "  implizit  "  deutlich. Seltsam nur, dass ihr die heute so sprichwörtliche Gleichberechtigung noch zu wenig war.

    Ziemlich unzweideutig ließ sie mich  wissen, als eigentlichen Zweck meiner inladungen betrachte sie, dass ich ihr den Hof mache und um sie werbe -  eben wie bei einer 20-jährigen.  Irgendwo hatte sie den Bezug verloren zu der Komik eines solchen Ansinnens.

   Ja und dann erzählte sie Dinge von Früher, wie alte Leute tun.  Es klang auch fast alles logisch, nur eben manchmal ein bissele grotesk.

    Früher  gab es ja noch die Sitte; einem 13-jährigen Mädchen  war es strengstens untersagt, auf Volkstanzveranstaltungen zu gehen.  Da kam dann die Streife und lieferte sie wieder bei den Eltern ab.

   Und so beiläufig erzählte Rosa, mit  13 habe sie sich eine DRAHTSCHERE besorgt ( Was Kinder damals alles hatten )  und immer den Sperrzaun zum Volkstanzplatz durchgeknipst, damit sie heimlich unentgeltlich rein konnte. Kein Kommentar.

    aber ich ließ das jetzt nicht mehr gelten.

  "  WAS haben Sie  als KIND mit 13 gesucht, dass sie solche Gefahren auf sich genommen haben? "

   " Ich wollte tanzen gehen. "

   " Ich glaub Ihnen kein Wort; 13-jährige spielen noch.  Und dass Sie geradezu süchtig waren nach Tanzvergnügungen, obgleich das streng verboten war -  Mann; rückense mal raus mit der Wahrheit.  Wenn Sie endlich die Wahrheit sagen, gibt es heut auch ein Stück Kuchen extra. "

   Nach einigem Hin und Her stammelte sie ein verklausuliertes Geständnis, das mich dann doch verblüffte.

   Den ganzen Tag sei sie geschlagen bzw. bestraft worden, wie es dazumal eben der Brauch war. Erst vom Vater, dann in der Schule vom Herrn Lehrer und schließlich vom Meister in der Schneiderlehre.

    Und wie sie nun - das erste Mal wohl eher zufällig - auf ein Tanzvergnügen geht,  da versteht sie die Welt nicht mehr.  Alle ( Kavaliere )  beachten sie, umsorgen sie, schmeicheln ihr, bewundern sie ....

   Mein Daddy hat das immer gesagt; wie sehr der Mensch doch giert nach ein bissele Zuwendung.  Und die  fand sie ausschließlich  in der ( verbotenen ) Tanzveranstaltung ...

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  Aber Georg was hattutenn?  MEINE  Mandel ist doch top fit.  Vom ersten Augenblick an war  ich skeptisch, dass die Extremata dieses Polynoms Fixüpunkte  sein könnten.

   wofür ich  doch plädiere:  Ohne Bauchgefühl, ohne ein  gewisses Feeling gehtr es in der Matematik nicht.

    Ich kann dir nur empfehlen. Lies doch  mal die Berichte über die ganzen Experimente, die der Damasio veröffentlicht hat.

    Ich vermute mal, dass du mir wieder mal anhängen willst, ich wollte irgendjemanden beleidigen.  Nein; den Damasio habe ich immer in dem Sinne zuitiert, dass bei mir  nicht nur der Kopf kritisch ist, sondern auch das Feeling.

   Und wieso auch? außer mir hat doch niemand geantwortet; habe ich etwa was Falsches  gesülzt über diesen Fixpüunkt`?  so rechnet  man das doch; oder nicht?

    aber ich lasse mich natürlich gerne belehren.

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Warum schreibt man solche Antworten hier? pff

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@anonymgirl,
zur Information :
mein Kommentar und meine Markierung
entsprach der Sorge um das Renommee
des Forums.
Am Besten du ignorierst die Beiträge dieses
Antwortgebers komplett.
Gar nicht erst durchlesen.

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Gar nicht erst durchlesen. 

Im Gegenteil !  Sehr genau durchlesen !

Und wenn man beim ersten Mal nicht alles versteht : Nochmal durchlesen, nochmal durchlesen,
H.s Beiträge können einem den Horizont sehr erweitern, man kann sehr viel aus ihnen lernen (außer Rechtschreibung).

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mein Kommentar und meine Markierung
entsprach der Sorge um das Renommee
des Forums.

Ironie?