Projektionspunkt des Koordinatenursprungs auf eine Ebene

Question

Der Koordinatenursprung (0,0,0) bildet mit den folgenden Punkten p1,p2,p3 einen Tetraeder

Punkte:  p1(0,1,0); p2(0,0,1); p3(2,0,0)

Die Normale n=(1/3,2/3,2/3) bildet mit dem Fußpunkt p1 eine Ebene. Berechnen Sie den Projektionspunkt des Koordinatenursprungs auf diese Ebene.

Die Ebene ist 1/3 * 1x+2y+2z=2/3

Ich verstehe noch nicht wirklich den Unterschied zum Verfahren Lotfußpunkt. Warum kann ich nicht einfach eine Gerade vom Punkt P1 mit dem Richtungsvektor vom Normalenvektor mit der Ebene schneiden lassen und den Schnittpunkt berechnen?

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Hallo bahamas,

Ich verstehe noch nicht wirklich den Unterschied zum Verfahren Lotfußpunkt. Warum kann ich nicht einfach eine Gerade vom Punkt P1 mit dem Richtungsvektor vom Normalenvektor mit der Ebene schneiden lassen und den Schnittpunkt berechnen?

Das ist das Verfahren 'Lotfußpunkt'. Nur wenn Du dies mit P1 tuest, so ist das Ergebnis wieder zwangsläufig P1, da die Gerade durch P1 geht und P1 auch in der Ebene liegt.

Richtig ist, eine Gerade durch den Ursprung mit \(n\) als Richtungsvektor mit der Ebene schneiden zu lassen. Die Gleichung für die Gerade ist

$$x = \frac13 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} \cdot t$$ Einsetzen in die Ebene gibt

$$\frac13 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} \cdot \frac13 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} t = \frac23 \quad \Rightarrow t = \frac23$$ d.h. der Schnittpunkt \(S\), der identisch mit dem Projektionspunkt ist, ergibt sich zu

$$x_S = \frac13 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} \cdot \frac23 = \frac29 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}$$

(klick auf das Bild und zoom hinein)

Comments

Hi, danke für deine tolle Antwort.
Ich hatte wahrscheinlich wirklich den falschen Punkt für meine Schnittgerade benutzt.

Wenn ich die Gerade mit dem Koordinatenurspruch als Aufpunkt und n aufstelle, funktioniert es.

g:(0,0,0) *t(1/3,2/3,2/3) mit der Ebene schneiden

E:1/3x+2/3y+2/3z=2/3

ergibt den Schnittpunkt 1/9*(2,4,4)

Funktioniert also ohne die komplizierte Formel.

Stimmt das soweit?

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Hallo bahamas,

Stimmt das soweit?

Ja - ich habe oben in meiner Antwort nichts anderes gemacht; weshalb mich Deine Nachfrage etwas verwundert ..

Gruß Werner

Answer 2

Der Fusspunkt eines Punktes \( Q \) in einer Ebene mit der Normalen \( \vec{n} \) und die den Punkt \( P \) enthält, kann man mit folgender Formel bestimmen

$$ \vec{x} = \vec{q} - \frac{(\vec{q}-\vec{p}) \vec{n}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}  $$

mit \( \vec{q} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}   \), \( \vec{p} = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}  \) und \( \vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}  \) ergibt sich

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{2}{9}\\ \frac{4}{9}\\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}   $$