Wie wird hier der Gradient bestimmt?

Question

Der Gradient soll bestimmt werden. Stimmt mein Ergebnis?

Answer 1

Nein, dein Ergebnis stimmt nicht. Das kann man schon alleine daran erkennen, dass dein Gradient eine skalare Größe ist.

\(f\left(\vec{x}\right) =  \left\lVert\vec{x}\right\rVert^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)

\(\frac{\partial}{\partial x_j}f(\vec{x})=2x_j\)

\(\mathrm{grad}_{\vec{x}}f(\vec{x})=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1}f(\vec{x}) \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n}f(\vec{x})\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2 x_1 \\ \vdots \\ 2 x_n\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=2\vec{x}\)

Richtig wäre also \(\mathrm{grad}_{\vec{x}}f(\vec{g}) = 2\vec{g}\) statt \(\mathrm{grad}_{\vec{x}}f(\vec{g}) = 2 \left\lVert\vec{g}\right\rVert\).

Comments

danke, wieso verschwindet denn beim ersten Schritt die Norm?

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Welchen ersten Schritt meinst du?

Meinst du die folgende Zeile?

\(f\left(\vec{x}\right) =  \left\lVert\vec{x}\right\rVert^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)

Oder meinst du den Schritt von dieser Zeile zur nächsten Zeile?

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Wenn du die Zeile

\(f\left(\vec{x}\right) =  \left\lVert\vec{x}\right\rVert^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\)

gemeint hast ... Da habe ich einfach die Definition der (euklidischen) Norm verwendet:

\(\left\lVert\vec{x}\right\rVert = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\)

Quadrieren liefert:

\(\left\lVert\vec{x}\right\rVert^2 = \left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\right)^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2\)