Lösung eines LGS an der inversen Matrix ablesen

Question

habe in einer Aufgabe bereits die inverse Matrix bestimmt und es soll daraufhin die Lösung des LGS anhand der Form           x = A^-1 * b abgelesen werden. Das wäre dann bei der Aufgabenstellung also:

$$ \begin{pmatrix}  2 & -3 \\ -3/2 & 5/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  7  \\ 9  \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}  x1  \\ x2  \end{pmatrix} $$

Wie liest man daraus dann die Lösung ab?

Vielen Dank schon einmal.

Answer 1

Wie liest man daraus dann die Lösung ab?

Man berechnet das Ergebnis der Matrix-Vektor-Multiplikation auf der linken Seite.

Answer 2

  Nein natürlich nicht.

      A  x  =  b     |   A  ^ -  1  °       (  1a  )

     Anmerkung;   "  Kringel rechts  "  bedeutet  "  Matmul  von  Links  "

       x  =  A  ^ -  1  b      (  1b  )

    (  1b  )  eröffnet dir übrigens eine ganz neue einsicht, warum  LGS  mit einer invertierbaren Matrix grundsepziell eine eindeutige Lösung besitzen.

    Ach wenn du  "  Hassia  "  heißt; kennst du  "  Tabea " ?

   Aus der Hassiawerbung.

  " Herbert, denk dran. Dem Günter sei neue Freundin heißt

Tabea. Ta_bee_aaaa .  "

     Es schellt.

     "  Ta - ta - Tach Schnuckelsche ... "

     " Herbert !!! "

     " Hassia  - so wie mir ... "

   Du bist so stolz darauf, dass dir die Inverse in eonem Sonderfall bekannt war;  jedoch will ich dich nicht dumm sterben lassen.  Wie bestimmt man die Inverse einer  2  X  2  Matrix?

   Jede Matrix  LÖST IHRE EIGENE SÄKULARDETERMINANTE  (  SD  )

   Für diagonalisierbare ===>  halbeinfache Matrizen ist das ja trivial. Aber es gilt eben allgemein.

   Womit wir wieder bei dem Punkt wären; in den Büchern ist das " als "  so kompliziert erklärt.  Wie ermittelst du die SD einer 2 X 2 Matrix  A  ?  Wir machen den quadratischen Ansatz

      p_A  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q      (  2a  )

      Und? Was ist p und q ?  Vieta das geschmähte Stiefkind

       p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  A  )      (  2b  )

      q  =  E1  E2  =  det  (  A  )            (  2c  )

     p_A  (  x  )  =  x  ²  -  x  Sp  (  A  )  +  det  (  A  )     (  2d  )

    Jetzt die Matrix  A   einsetzen in  (  2d  )

  p_A ( A ) = A ² - A Sp ( A ) + det ( A ) * 1| = 0   |  °  A ^ - 1    (  3a  )

   

      A - Sp ( A ) * 1|  + det ( A ) *  A ^ - 1 = 0   (  3b  )

    Und  (  3b  )   tust du umstellen nach der Inversen  A ^ -  1   -  fertig ist die Laube.