Stetige Funktion Analysis

Question

eine Idee, wie diese Funktionieren soll.

Die Funktionen f:ℝ/{1}⇒ℝ und  g:ℝ/{1}⇒ℝ  seien gegeben durch

f(x)=x2^+4x−5/(x−1)^2 bzw. durch g(x)=(x^2+4x−5)/(x-1)

Können Sie a∈ℝ bzw. b∈ℝ finden, sodass durch die Festlegung f(1)=a bzw. g(1)=b eine auf der ganzen reellen Achse stetige Funktion entsteht?

Answer 1

f ( x ) = ( x^2 + 4x −5) /(x−1)^2
g ( x ) = ( x^2 + 4x −5) /(x−1)

Hier die Graphen
blau = f
rot = g

Blau bleibt eine Polstelle : eine Definition
durch f ( 1 ) = Wert ist nicht möglich.

Wir bei rot g ( 1 )
g ( x ) = ( x + 5 ) * ( x - 1 ) / (x−1)
lim x −> 1 [ ( x + 5 ) * ( x - 1 ) / (x−1) ]
kürzen
lim x −> 1 [ ( x + 5 )  ] = 6
definiert
g ( 1 ) = b = 6
stimmt es
g ( x ) = ( x^2 + 4x −5) /(x−1)^2  für x ≠ 1
und g ( x ) = 6 für x = 6

Answer 2

f(x)=x^2 + 4x − ⁵/_(x−1)^2        nicht möglich, da mit (x-1) nicht gekürzt werden kann.

bzw. durch

g(x)=(x^2+4x−5)/(x-1)   Definitionslücke kann herausgekürzt werden. 

                                     Zähler faktorisieren (Vieta) auch mit pq-Formel möglich

= ((x+5)(x-1))/(x-1)

= x+5

Nun 1 + 5 = 6 rechnen und definieren:

g(1) = 6 = b

x = 1 war somit eine hebbare Definitionslücke von g . Das gesuchte b ist 6.