Differentialrechnung

Question

Die Aufgabe lautet:

Die exakt nach Nordosten laufenden geraden Teilstücke g und h der Skaterbahn sollen durch eine Kurve so verbunden werden, dass harmonische versatz- und knickfreie Übergänge entstehen.

a) Verwenden Sie zur Modellierung eine Polynomfunktion dtitten Grades.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsrunk erzeugt.
c) Verwenden Sie zur Vermeidung des Krümmungsrucks eine Funktion fünften Grades.

Answer 1

f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 1  | Steigung Nordost
f ( 10 ) = 4
f ´ ( 10 ) = 1

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c

Einsetzen, dadurch ein lineares Gleichungssystem
aufstellen, berechnen.

Zur Kontrolle
f(x) = 0,012·x^3 - 0,18·x^2 + x

Wenns weiter gehen soll oder bei Fragen
dann wieder melden.

Comments

Dein Berechnung ist falsch

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Gut. Dann sag bitte auch was falsch ist.

mfg Georg

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ein klarer Fehler ist die gewählte Funktion.

Der Graf ist punktsymetrisch zum Koordinatenursprung, aufgrund dessen gehen die Parameter b und e weg.

f(x)=ax^3+cx

Nun sollte man die Eigenschaften umsetzen und weiterhin die Funktion rekonstruieren.

Ich habe f(x)=0,012x^3+0,1x

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Woher weißt du das die Funktion
punktsymmetrisch zum Ursprung ist ?

Oder ist Sie vielleicht punktsymmetrisch
zu x = 5 ?

Ich habe meine 4 Annahmen ersetzt
durch
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 1  | Steigung Nordost
f ( 10 ) = 4
f ´´ ( 5 ) = 0 | Wendepunkt

An der Funktion hat sich nichts
geändert.

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Die Antwort von Georg zu a) ist richtig. Dass irgendwo (!) noch ein Koordinatenursprung auf die Funktion gemalt wurde, ändert daran nichts, sondern manifestiert vielmehr die Unfähigkeit des Aufgabenstellers, sich klar auszudrücken.

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Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da unter dem Graph ein rechtwinkliges Dreieck dargestellt wurde und einen rechten Winkel Gama=90° hat. Auf der linken Seite unten man hat der Winkel 45° und auf der rechten Seite oben man hat auch  ein Winkel =45°,nun wenn man alle drei Winkelen zusammen addiert, erhält man die Winkelsumme =180°, welche den Satz des Pythagoras entspricht. wenn der Graph nicht Punktsymmetrisch wäre, dann hätten wir unterschiedliche Winkelsgröße und nicht 2 mal 45°.

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Die Graphen sehen so aus

blau : meine Funktion ( richtig )
rot : deine Funktion ( falsch )

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Benutzer alirezaan hat halt den Ursprung verschoben im Vergleich zu Deiner Lösung.

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Benutzer alirezaan hat halt den Ursprung verschoben im Vergleich zu Deiner Lösung.

Vor allem hat er das KOS benutzt, das in der Skizze bereits vorgegeben wurde. Das spart Arbeit.

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du sieht nur den Graph im ersten Quadrant ,du muss auch mein Graph im dritten Quadrant schauen. meine Funktion stellt genau das Schaubild ,das im Buch hochgeladen würde.Ich habe bis jetzt 3 Begründung erwähnt , dass deine Funktion falsch ist. Du solltest mit deinem Lehrer darüber diskutieren.Der grüne Graph ist meine Funktion, welche mit dem Graph im Buch aufgäbe a übereinstimmt und der blaue Graph ist deine, welche nicht wie dir Aufgabe verläuft.

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Darüber hinaus möchte ich dir sagen, dass hier der Wendepunkt bei w(0|0) liegt und nicht irgendwo andres, deshalb sind  f"(0)=0 und f(0)=0.da das Ergebnis für beide gleich Null ist, die Parameter a und b strichen aus.

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In der Aufgabenstellung heißt es : Teilstück h
soll mit Teilstück g verbunden werden.
Teilstück h finde ich in der Skizze gar nicht.

Das der Ursprung der Funktion bei den 2 schwarzen Pfeilen sein soll ist mit nicht aufgefallen.

Dann wäre der Ursprung des Koordinatensystems in diesem Fall dort
mit ( 0 | 0 ) anzusetzen
Angesichts der unteren und linken Skala
( 10 , 4 ) ist die Annahme ( 5  | 2 ) für
die Koordinaten auch nicht falsch.

mfg Georg

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Ich habe es anhand des Bildes verdeutlich gemacht, daneben ist auch meine Berechnung. geh mal nach oben und guck noch einmal die Aufgabe und dadurch siehst du, dass deine Berechnung falsch ist.

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{3}{250} x^{3}+\frac{1}{10} x \)

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45°=1 und nicht -45°=-1

habe ich andersrum gesehen

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Deine violette Linie rechts ist von dir
mit 4 m ( gelb ) angegeben ist aber 5 m

Deine violette Linie unten ist mit 10 m ( gelb )
angegeben ist aber 11 m.

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Wenn ich dein Koordinatensystem
annehme ergibt sich
f ( 0 ) = 0
f '' ( 0 ) = 0
f ( 5 ) ) = 2
f ' (-5 ) = 1

und demnach
f(x) = 0,012·x^3 + 0,1·x

Das ist alles

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Wenn ich als Planer tätig wäre würde
ich für die Funktionen f,g und h dasselbe
Koordinatensystem wählen.

Die von mir gewählten Koordinaten
lassen sich leicht aus der Grafik
ablesen.

Answer 2

Hallo

 lege den Ursprung in den Anfang der gekrümmten Bahn, dann ist wegen f(0)=0,  f(x)=ax³+bx²+cx

du kennst f(10), f'(0)=f'(10)=1 und kannst daraus a,b,c bestimmen. dann f''(0)

 und f''(10) müssten die Krümmung einer Geraden beschreiben, also f''=0 feststellen, dass das nicht gilt und eine Funktion 5 ten Grades ansetzen, die die Bedingungen oben erfüllt und zusätzlich f''(0)=f''(10)=0

Gruß lul

Answer 3

a) Verwenden Sie zur Modellierung eine Polynomfunktion dtitten Grades.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Aufgrund der Punktsymmetrie gilt b = d = 0

f(5) = 2 --> 125a + 5c = 2
f'(5) = 1 --> 75a + c = 1

Meine Lösung

f(x) = 0,012·x^3 + 0,1·x

b) Zeigen Sie, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsrunk erzeugt.

Zeige das f''(5) ≠ 0

c) Verwenden Sie zur Vermeidung des Krümmungsrucks eine Funktion fünften Grades.

Meine Lösung

f(x) = -9/25000·x^5 + 0,03·x^3 - 0,125·x

Skizzen

~plot~ 0,012x^3+0,1x;-9/25000x^5+0,03x^3-0,125x;[[-5|5|-2|2]] ~plot~