Lineare Abbildung bestimmen

Question

Wie löse ich folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen φ: ℝ^2 → ℝ^2 mit 

φ((1,1)) = (1,2) und φ((4,-1)) = (-1,3)

Comments

Du könntest deinem Prof (oder seinem Assi) die Gegenfrage stellen "Was meinen Sie mit Bestimmen Sie ? Durch φ((1,1)) = (1,2) und φ((4,-1)) = (-1,3) ist die (einzig mögliche) lin Abb bereits eindeutig bestimmt."

Answer 1

Der Kommentar sagt es ja schon. Ich denke es soll sowas wie

φ((x,y)) =   ???    angegeben werden.

Dazu löse (x,y) = a*(1,1) + b(4;-1) nach a und b auf,

das gibt a=(4+4y)/5   und  b=(x-y)/5 , also ist

φ((x,y)) =  φ( (4+4y)/5  *    (1,1))   +   (x-y)/5  * (1,2) )

und wegen der Linearität

=   (4+4y)/5  *    φ( (1,1))   +   (x-y)/5  *   φ( (1,2) )

=    (4+4y)/5  * (1,2)   +   (x-y)/5  * (-1;3)

= (y , x+y)