Ableitung: Bsp. Im Punkt Q(3|f(3)) ist die Steigung des Graphen von f minimal . Wahr oder falsch?

Question

Hi bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher. Könnte mir jemand bitte die Lösung eben kurz, aber ausführlich erklären.

f'(x)= 3/4×^2-6×+9

Entscheiden Sie anhand des Graphen von f', ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen sie Ih re Entscheidungen.

1: Es gibt eine weitere Tangente an den Graphen von f, die parallel zur Tangente t verläuft. (Tangente t heißt y=9×-64)

2: Im Punkt Q(3|f(3)) ist die Steigung des Graphen von f minimal

Comments

Das war jetzt alles sehr unübersichtlich. kann mir jemand bitte die beiden Aussagen nacheinander beantworten, anhand des graphen?

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In der Aufgabestellung steht das die
Tangente an f die Steigung 9 hat.
Der Graph der Steigungsfunktion f ´ zeigt
das die Steigung 9 - 2 mal vorkommt
( f ´( x ) = y = 9 ).
Damit ist die Frage beantwortet.

2: Im Punkt Q(3|f(3)) ist die Steigung des
Graphen von f minimal

Der Graph der Steigungsfunktion f ´
zeigt das die Steigung an der Stelle
x = 2 und x = 6 minimal ist, nämlich 0.

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Hier dein Graph
Bei x = 2 und x = 6 ist die Steigung null.
Extrempunkt.

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Das ist ein anderer graph zu ner anderen aufgabenstellung?????

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Aber mir fällt auf die werte passen. du hast dich bei der abbildung nur vertan

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Merkwürdigsterweise ist der Steigungverlauf
( Extremstellen, Wendepunkt ) gleich.
Ist aber auch egal.

In deiner eigenen Skizze beträgt die
Steigung an den Stellen
x = 2 und x = 6 null

An der Stelle x = 3 beträgt die Steigung
-2. Aus deiner Grafik abgelesen.

Der Punkt ( 3 | f ( 3 ) ) hat somit
nicht die minimalste Steigung.

Answer 1

Die tangente hat die Steigung 9. Wir Fragen uns also, ob die Ableitung an mehr als einer stelle den funktionswert 9 hat.

9=3/4x^2-6x+9

0=3/4x^2-6x

0=x*(3/4x-6)

Satz vom nullprodukt

x_(1)=0

3/4x-6=0

3/4x=6

x_(2)=8

Also gibt es 2 Stellen mit der Steigung 9. x=0 und x=8.

Comments

Die angegebene tangente ist übrigens keine. Vertippt?

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Hä f'(x)=3/4×^2-6×+9 ist doch schon die ableitung

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Ah Oha Mist. Hab ich nicht gesehen. Ich überarbeite das nochmal.

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Erledigt......

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Also heißt das, dass es jz somit eine parallele gibt die an f' veeläuft in bezug auf tangente weil es 2 stellen gibt? und was ist mit aussage 2:

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Die parallele zur tangente die auch die Steigung 9 hat ist eine weitere tangente an f und nicht an f'.

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Also die erste Aussage stimmt

Für die zweite suchen wir das Minimum der Ableitungsfunktion. Dafür müssen wie nochmal ableiten.

f"=3/2x-6=0

3/2x=6

x=4

Also ist die zweite Aussage falsch.

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Für die zweite suchen wir das Minimum der Ableitungsfunktion. Dafür müssen wie nochmal ableiten.

Auch die zweite Aussage lässt sich anhand des Graphen – und damit ohne die zweite Ableitung zu bilden – entscheiden, denn der Scheitel der ersten Ableitung ist in der Zeichnung gut zu erkennen.

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Stimmt. Dass man das am Graphen erkennen soll ist mir wohl entgangen. Vermutlich weil das in dieser form seltener vorkommt als die Frage nach der rechnerischen Lösung.

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Ok gut ich hab das jz fast verstanden. Auch wie mein aussage 2 ablesen kann. Aber wie genau kann msn jz die aussage 1 am graphen ablesen ohne zu rechnen?

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Die Funktion f ´ ist eine Parabel.
Diese Parabel ist symmetrisch zu x = 4
Das heißt der Funktionswert
f ( 3 ) = f ( 5 )
f ( 2 ) = f ( 6 )
usw
Der Funktionswert 9 kommt 2 mal vor.
Deshalb gibt es auch 2 Tangenten mit dieser
Steigung.
Damit ist die Frage beantwortet.
Rechnen sollst du nichts.

Answer 2

Entscheiden Sie anhand des Graphen von f ',
ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
sind, und begründen sie Ihn.

Der Graph von f ´ zeigt an 2 Stellen den Funktionswert 9.

Die Steigung von f ist an den Stellen x = 2 und
x = 6 minimal, nämlich 0.

Stell einmal die Ausgangsfrage als Foto ein.
So ist es für mich etwas verwirrend.

Comments

Die Steigung von f ist an den Stellen x = 2 und
x = 6 minimal, nämlich 0.

Das ist offensichtlich falsch.

Answer 3

Annahme: Deine Zeichnung ist korrekt.

Graphische Kontrolle

~plot~ 3/4 x^2-6x+9 ~plot~

"Im Punkt Q(3|f(3)) ist die Steigung des Graphen von f minimal "

Wenn das wahr wäre, müsste der Scheitelpunkt des Graphen von f ' an der Stelle x=3 liegen und ein Tiefpunkt der Graphen von f' sein.

In deiner Zeichnung ist der Tiefpunkt aber nicht bei x=3 (eher etwa bei x=4 ).

Aussage 2 ist somit falsch.

Mehr brauchst du nicht zu tun bei der zweiten Behauptung.

Nun zur ersten Behauptung:

Graph

~plot~ 3/4 x^2-6x+9;9x-64;[[-2|15|-100|40]] ~plot~

1: Es gibt eine weitere Tangente an den Graphen von f, die parallel zur Tangente t verläuft. (Tangente t heißt y=9×-64)

Da die Steigung der Tangente 9 ist, und f' an zwei Stellen den Wert 9 annimmt, gibt es zwei Tangenten an f mit der Steigung m=9. Somit ist die Behauptung 1 wahr. fertig.

Die vorgegebene Tangente sorgt dafür, dass man (mittels Integration) eine (oder sogar zwei) Funktionsgleichung von f bestimmen könnte, die passt (passen). So liesse sich die zusätzliche Tangente dann auch noch berechnen. (Musst du aber nicht tun!) 

Comments

Hallo Lu,
deine Grafik dürfte nicht richtig sein.
Deine Grafik zeigt f´ und t.
Es heißt aber
Es gibt eine weitere Tangente an den Graphen von f, die parallel zur Tangente t verläuft. (Tangente t heißt y=9×-64)
t ist keine Tangente von f´ sondern von f. f =
 
Tangenten von f
t1  = 9x - 64
und
t2 = 9x

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Lies meinen Text. Da steht nichts über eine Tangente an f' .

Nochmals für dich:

~plot~ 3/4x^{2}-6x+9;9x-64;9;[[-2|15|-100|40]] ~plot~

y = 9 schneidet den Graphen von f' an zwei Stellen. Das genügt.

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Warum stellst du den Graph von f´und t
in einem Graph dar ? Da gibt es keinen Zusammenhang.

y = 9 schneidet den Graphen von f' an zwei Stellen. Das genügt.
Ist mir bekannt und habe ich auch schon angeführt.

Hier die Grafik von f und t1 / t2 welche die
Zusammenhänge besser darstellt.
( meiner unmaßgeblichen Meinung nach ).

 

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Warum stellst du den Graph von f´und t
in einem Graph dar ? 

Warum soll ich das nicht tun? Ich brauche f nicht.

Ich habe oben inzwischen auch noch t' in den gleichen Graphen gezeichnet (grün).

Aber, wie ich sehe, hast du jetzt die Aufgabe verstanden. Nur, wie in meiner Antwort beschrieben: Eine Integration ist bei einer ja-nein-Frage unnötig.