Wie man die Aufgabe löst, kommt ganz darauf an, was du weißt.
Wenn du dich mit Eigenvektoren auskennst, könntest du den Eigenraum zum Eigenwert \(1\) berechnen, welcher der gesuchten Fixpunktgeraden entspricht.
\[A := \frac{1}{82}\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{80}{82} & \frac{18}{82} \\ \frac{18}{82} & -\frac{80}{82}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{40}{41} & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41}\end{pmatrix}\]
\[\text{Eig}(A, 1) = \ker\left(A - 1\cdot E_2\right)=\ker\begin{pmatrix}\frac{40}{41} - 1 & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41} - 1\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}40-41 & 9 \\ 9 & -40 - 41\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}-1 & 9 \\ 9 & -81\end{pmatrix}=\ker\begin{pmatrix}-1 & 9 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \left\langle\begin{pmatrix}9 \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle\]
Ein Richtungsvektor der Fixpunktgeraden ist demnach \(\begin{pmatrix}9 \\ 1\end{pmatrix}\), weshalb man die folgende Steigung erhält: \[m = \frac{1}{9}\]
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Ansonsten kannst du die Matrix \[A := \frac{1}{82}\cdot\begin{pmatrix}80 & 18 \\ 18 & -80\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{80}{82} & \frac{18}{82} \\ \frac{18}{82} & -\frac{80}{82}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{40}{41} & \frac{9}{41} \\ \frac{9}{41} & -\frac{40}{41}\end{pmatrix}\] auch mit der Spiegelungsmatrix \[\begin{pmatrix}\cos(2\alpha) & \sin(2 \alpha) \\ \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha)\end{pmatrix}\] vergleichen, wobei \(\alpha\) den Neigungswinkel der Fixpunktgerade bezeichnet.
Damit erhält man dann: \[\cos\left(2\alpha\right) = \frac{40}{41}\quad \text{ und }\quad \sin\left(2\alpha\right) = \frac{9}{41}\text{.}\]
Die Steigung \(m\) der Fixpunktgerade erhält man mit Hilfe der Tangensfunktion aus dem Neigungswinkel \(\alpha\). Es ist: \[m = \tan\left(\alpha\right) = \tan\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}{\sin\left(2\alpha\right)} = \frac{1- \frac{40}{41}}{\frac{9}{41}}=\frac{41-40}{9}=\frac{1}{9}\]
