Wie ist die allgemeine Schreibweise für die Herleitung der Schnittgeraden?

Question

mein Lehrer hat mir zu morgen die Aufgabe gegeben, vorzuführen, wie man aus der Parameterform der Ebene [E1: x = O + ra + sb] und der Koordiantenform der Ebene [E2: ax + by + cz = d] die Schnittgerade schreibt. Wie hatten zuvor gezeigt bekommen, wie man zeigt, dass die parallel bzw. identisch sind. Das habe ich bis jetzt ja auch verstanden aber das mit der Schnittgeraden fällt mir schwer. Hier mein Ansatz dazu

Komponentenschreibweise von E1:

x = O1+a1r+b1s

y = O2+a2r+b2s

z = O3+a3r+b3s

In E2 eingesetzt und ausgeklammert komme ich dann auf:

aO1+aa1r+ab1s+bO2+ba2r+bb2s+cO3+ca3r+cb3s=d

Hier komme ich nicht mehr weiter. Eigentlich muss man ja zusammenfassen bzw. schauen, was sich aufhebt, aber irgendwie verwirrt mich das.

Ich hoffe auf eine schnelle Antwort.

Klausi

Answer 1

aO1+aa1r+ab1s+bO2+ba2r+bb2s+cO3+ca3r+cb3s=d

<=> aO1+bO2+cO3+aa1r+ba2r+ca3r+ab1s+bb2s+cb3s=d

<=>aa1r+ba2r+ca3r+ab1s+bb2s+cb3s=d- aO1+bO2+cO3

<=>(aa1+ba2+ca3)*r+(ab1+bb2+cb3)*s=d- aO1+bO2+cO3

Wenn die Ebenen nicht parallel sind, ist eine der beiden Klammern

nicht 0 (sagen wir mal die erste) und du kannst dann z.B. nach r auflösen:

r =   -s*(ab1+bb2+cb3)/(aa1+ba2+ca3) + (d- aO1+bO2+cO3) /(aa1+ba2+ca3)

und wenn du das in die Gleichung von E1 einsetzt hast du nur noch einen Parameter,

also eine Geradengleichung.

Comments

Wow, vielen lieben Dank. Hat mir sehr weiter geholfen