Logarithmusaufgaben mit Brüchen

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiss, ob meine Lösungen stimmen.

lg(3*10^x - 1) + lg(1-10^x) = 2x

Man muss jz ja lg(3*10x - 1) + lg(1-10x) in einen Logarithmus nehmen und multiplizieren.

Wie mache ich das ? ich weiss nie vorgehen

und rechts einfach den 10. Logarithmus -> lg(10² * 10^x )

.

Answer 1

ich weiss nie vorgehen

Lerne Regeln.

log(a) + log(b) = log(ab)

Also lg(3*10^x - 1) + lg(1-10^x) = lg ((3*10^x - 1)·(1-10^x))

und rechts einfach den 10. Logarithmus -> lg(10² * 10^x)

Normalerweise möchte man das x auspacken, nicht noch zusätzlich einpacken. Lass die rechte Seite erst ein mal so wie sie ist.

Answer 2

allgemein gilt:

lg(a *b)= lg(a)+lg(b)

-------------->

lg(3 *10^{x}-1)) +lg(1-10^{x})=2x

lg((3 *10^{x}-1)) *(1-10^{x}))=2x |10hoch

((3 *10^{x}-1)) *(1-10^{x}))=10^{2x}

3*10^{x} -3*10^{2x} -1+10^x =10^{2x}

4*10^{x} -3*10^{2x} -1 =10^{2x} |-10^{2x}

4*10^{x} -4*10^{2x} -1 =0

Substittion 10^x=z

-4z^2 +4z-1=0 |:(-4)

z^2 -z +1/4=0

z_1.2=1/2 ±√(1/4-1/4)

z1.2=1/2 

->Resubstitution:

10^x=1/2

x lg(10)=lg(1/2)

x=lg(1/2)

x≈ -0.30

Die Probe bestätigt die Richtigkeit.