Naja, eine Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb{N_0}}\) muss nicht immer in expliziter Form definiert sein. Hauptsache die Folgenglieder \(a_{n}\) existieren und sind eindeutig bestimmt. Im vorliegenden Fall ist die Folge rekursiv definiert.
Aufgaben dieser Form lassen sich oftmals folgendermaßen lösen:
1. Schritt: Zeige, dass der Grenzwert \(\lim_{n\to\infty} a_n\) existiert.
Dies geht meist, indem man zeigt, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, oder indem man zeigt, dass die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist.
2. Schritt:
Man hat nun gezeigt, dass der Grenzwert \(g := \lim_{n\to\infty}a_{n}\) existiert. Damit existiert auch der Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\) und es ist \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}= \lim_{n\to\infty}a_{n} = g\).
Wenn man nun eine Rekursionsformel der Form \(a_{n+1} = f(a_{n})\) mit einer stetigen Funktion \(f\) hat, so kann man den Grenzwert für \(n\to\infty\) betrachten und erhält die Gleichung \(g = f(g)\). Diese Gleichung kann man dann nutzen, um den Grenzwert \(g\) zu ermitteln.
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Nebenrechnung: \[\begin{aligned}2\cdot g = \sqrt{15+4\cdot g} & \quad\Rightarrow\quad4 g^2=15+4g\quad\Leftrightarrow\quad4 g^2 - 4 g = 15 \\ & \quad\Leftrightarrow\quad g^2-g = \frac{15}{4}\quad\Leftrightarrow\quad g^2-g +\frac{1}{4}= \frac{16}{4} \\ & \quad\Leftrightarrow\quad \left(g-\frac{1}{2}\right)^2 = 4\quad\Leftrightarrow\quad g-\frac{1}{2} = \pm 2 \\ & \quad\Leftrightarrow\quad g = \frac{1}{2} \pm 2 \quad\Leftrightarrow\quad g \in \left\lbrace - \frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right\rbrace\end{aligned}\]
Nur \(g = \frac{5}{2}\) erfüllt die Gleichung \(2\cdot g = \sqrt{15+4\cdot g}\). Für \(g = -\frac{3}{2}\) würde man bei Einsetzen in die Gleichung den Widerspruch \(-3 = 3\) erhalten.
Vermutung:
Wegen \(a_0 = 7 > \frac{5}{2} = g\) könnte man vermuten, dass die Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}_0}\) monoton fallend mit Grenzwert \(g = \frac{5}{2}\) ist.
Behauptung 1:
Die Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}_0}\) ist nach unten durch \(\frac{5}{2}\) beschränkt. Das heißt, es ist \(a_{n}\geq \frac{5}{2}\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\).
Beweis von Behauptung 1 durch vollständige Induktion:
IA: \(n = 0\)
\(a_{0} = 7 \geq \frac{5}{2}\)
IV:
Für ein \(n\in\mathbb{N}_0\) sei bereits gezeigt, dass \(a_{n}\geq \frac{5}{2}\) ist.
IS:
Für das \(n\) aus IV ist ... \[2\cdot a_{n+1} = \sqrt{15+4\cdot a_n} \stackrel{\text{IV}}{\geq} \sqrt{15+4\cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{25} = 5\text{.}\]
Division durch \(2\) liefert dann \(a_{n+1} \geq \frac{5}{2}\).
Behauptung 2:
Die Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}_0}\) ist monoton fallend. Das heißt, es ist \(a_{n+1}\leq a_{n}\) für alle \(n\in \mathbb{N}_0\).
Beweis von Behauptung 2:
Für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) ist \[2\cdot a_{n+1} = \sqrt{15+4 a_{n}}\text{.}\] Division durch \(2\) liefert \[a_{n+1} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{15+ 4a_{n}}\text{.}\] Damit erhält man \[\begin{aligned}a_{n+1} & = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{15 + 4a_{n}} = \sqrt{\frac{15}{4}- a_{n}} \\ & = \sqrt{\frac{16}{4} - \frac{1}{4} + a_{n} - a_{n}^2+a_{n}^2} \\ & = \sqrt{4-\left(a_n^2-a_n + \frac{1}{4}\right) + a_{n}^2} \\ & = \sqrt{4-\left(a_n - \frac{1}{2}\right)^2 + a_{n}^2} \\ & \stackrel{\text{Behauptung 1}}{\leq}\sqrt{4-\left(\frac{5}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + a_{n}^2} \\ &= \sqrt{4-4 + a_{n}^2} = \sqrt{a_{n}^2} \stackrel{(*)}{=} a_{n}\end{aligned}\] für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) Bei \((*)\) ist eingegangen, dass wegen Behauptung 1 insbesondere auch \(a_{n}\geq 0 \) ist.
Behauptung 3:
Der Grenzwert \(\lim_{n\to \infty}a_{n}\) existiert und es ist \(\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{5}{2}\).
Beweis von Behauptung 3:
Der Grenzwert \(g := \lim_{n\to \infty} a_{n}\) existiert, da die Folge \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}_0}\) monoton fallend und nach unten beschränkt ist. [Siehe: Behauptung 1 und Behauptung 2]
Damit existiert dann auch der Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\) und es ist \(g = \lim_{n\to \infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\).
Es ist \[2\cdot g = \lim_{n\to \infty}a_{n+1} = \lim_{n\to \infty}\sqrt{15+ 4\cdot a_{n}} = \sqrt{15 + 4\cdot \lim_{n\to \infty}a_{n}} = \sqrt{15 + 4\cdot g}\text{.}\]
Daher erhält man \(g = \frac{5}{2}\). [Siehe: Nebenrechnung]
Also ist \(\lim_{n\to\infty}a_{n} = g = \frac{5}{2}\).
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