Frage zur Verteilungsfunktion Normalverteilung

Question

Die Aufgabensteillung lautet:

Die Zufallsvariablen X, X1, . . . , Xn seien unabhängig und stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0; 1]. Sei Q =
min(X1, . . . , Xn).
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Q

Mein Ansatz war ganz billig in die Formel
         
           0  , wenn x<a 
F(x) = (x-a)/(b-a)    , wenn x€[a;b] 
           1  , wenn x > b
einzusetzen. In der Lösung wird aber ganz anders vorgegangen

F(x) = P(Q ≤ x) = 1 − P(X1 > x, ..., Xn > x) = 1 − (P(X1 > x))n
, sodass:

           0  , wenn x<a
F(x) = 1-(1-x)^n    , wenn x€[0;1]
          1  , wenn x > b

Kann mir jemand die Lösung erkläutern? und tut mir Leid für diese etwas unübersichtliche Frage. Ich bin neu in diesem Forum und darf keine Grafiken posten.

Comments

Die Frage hat nichts mit Normalverteilung und Erwartungswert zu tun. Ich habe die Tags entfernt.

Answer 1

in die Formel ... einzusetzen

Das ist die Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b]. Die darfst du verwenden wenn du die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] bestimmen möchtest.

Du möchtest die Verteilungfunktion von Q bestimmen. Q ist nicht gleichverteilt. Also darfst du nicht einfach in die Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] einsetzen. Bevor du Formeln verwendest, musst du prüfen, ob die Voraussetzungen für die Verwendung einer Formel erfüllt sind. Bei der Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] ist das, dass es sich um eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [a, b] handelt.

F(x) = P(Q ≤ x)

Das ist die Definition von Verteilungsfunktion.

P(Q ≤ x) = 1 − P(X1 > x, ..., Xn > x)

P(Q ≤ x) = P(X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x) laut Definition von Q.

P(X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x) = 1 - P(X1 > x ∧ X2 > x ∧ ... ∧ Xn > x) weil

        X1 > x ∧ X2 > x ∧ ... ∧ Xn > x

das Gegenerergnis von

        X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x

ist. In der Lösung wurden anstatt ∧-Zeichen Kommata verwendet.

.1 − P(X1 > x, ..., Xn > x) = 1 − (P(X1 > x))ⁿ

Die Xi sind stochastisch unabhängig. Also gilt

        P(X1 > x, ..., Xn > x) = P(X1 > x) · ... · P(Xn > x).

Außerdem sind sie identisch verteilt. Also gilt

        P(X1 > x)  = P(X2 > x) = ... = P(Xn > x).

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung!