Gebe Parameterdarstellung an, berechne Kurvenintegrale

Question

Gegeben sind folgende Kurven

Γ₁ = {(x,0,0) ∈ R³ : 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(1,y,0) ∈ R³ : 0 ≤ y ≤ 1} ∪ {(1,1,z) ∈ R³ : 0 ≤ z ≤ 1},

Γ₂ = {(x,y,z) ∈ R³ : x² +y³ = 1 ∧ x + y - z = 0}

und die Funktion f: R³ → R³ mit f (x,y,z) = (x-y, y-z, z-x).

a) Geben Sie für Γ_i eine Parameterdartsellung γ_i = 1,2 an.

b) Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale 1. und 2. Art

∫_γ1 f(s) ds     bzw.    ∫_γ2 f(x)dx

Answer 1

$$ \Gamma_1=\{(x+2,y+1,z)\in \mathbb{R^3}: 0\leq x\leq 1 ∧ 0\leq y \leq 1 ∧ 0\leq z \leq 1\} $$

Parameterdarstellung

$$ γ_1=\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t+2\\t+1\\t \end{pmatrix},\quad t\in [0,1]$$