Fallstudie Testverfahren von Ausschuss

Question

Hallo weiß jemand wie ich an die Aufgabe herangehe?

Gegeben sei ein Testverfahren zur Detektion von Ausschuss.
Bekannt sind folgende Größen:
P(Ausschuss) = 1%; P(Test ja | Ausschuss) = 99%; P(Test nein/kein Ausschuss) = 98%
(a) Berechnen Sie P(Ausschuss | Test ja).
(b) Berechnen Sie P(kein Ausschuss | Test nein).
(c) Was ist die Sensitivitat und Spezifität eines solchen Tests?
(d) Berechnen Sie die Anderungsrate von P(Ausschuss | Test ja) bzgl. den drei gegebenen
Wahrscheinlichkeiten, d.h. welche der gegebenen Wahrscheinlichkeiten verandert bei kleinen
Schwankungen das Ergebnis aus 2a am meisten?
(e) Wie groß müsste die Spezifität sein, damit P(Ausschuss | Test ja) 90% ?
(f) Wie groß musste die a-priori Ausschusswahrscheinlichkeit sein, damit
P(Ausschuss | Test ja) 90%?

EDIT: | für bedingte Wahrscheinlichkeit redigiert.

Comments

Hier eine Idee:

Ich möchte vorab P(B) berechnen:

P(A)=0.01 

P(B)=?

P(B|A)=0.99      → P(B|A)=P(B∩A)/P(A)

P(A*|B*)=0.98    → P(B*|A*)=P(B*∩A*)/P(A*)

Stelle damit zwei Gleichungen auf und löse sie:
0.99=(x*0.01)/0.01

0.98=(x*(1-0.01))/(1-0.01))

Komme auf kein richtiges Ergebnis....

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Vielen Dank für die Hilfe aber könnte man mir eventuell erklären wie das mit dem TEST JA und TEST NEIN und dem Ausschuss / kein ausschuss gemeint ist?

also das 1% Ausschuss ist verstehe ich, aber was die anderen Angaben bringen sollen weiß ich leider nicht,

Am besten anhand dem Schraubenbeispiel( z.B.dass bei 1000 Schrauben 1% Ausschuss sind und wieviel es dann bei 200 zufällig ausgewählten Schrauben sein könnte)

Das Schraubenbeispiel ist für mich verständlich deswegen wenn möglich die Aufgabenstellung so umformulieren das ich einen Anhaltspunkt habe und auch eventuell mal selbst was rechnen kann.

vielen dank vorab!

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Ist das eine Frage der "bedingten Wahrscheinlichkeit)

Sieht das auf deinem Blatt so aus P(Test ja| Ausschuss)?

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a)

A: "Schraube" ist fehlerhaft
B: Test sagt: Ja, "Schraube" ist fehlerhaft

$$P(A) = 0,01\\ P(B|A) = 0,99\\ P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,98\\ P(B)=P(A\cap B) + P(A\cap \overline{B}) = P(A)\cdot P(B|A) + P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0,0297\\ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{3}$$

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genau so sieht es aus : P(Test ja| Ausschuss)?

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a. und b. habe ich gelöst bekommen dank Trashcan ... aber danach komme ich echt nicht weiter :/

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Angaben :
P(Ausschuss) = 1%; P(Test ja/Ausschuss) = 99%;
weiter heißt es
(a) Berechnen Sie P(Ausschuss/Test ja).

Falls eine Multiplikation vorliegt ist das doch
dasselbe.

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Hier handelt es sich um die "bedingte Wahrscheinlichkeit". Deshalb ist das nicht dasselbe.

P(A)=P(Ausschuss)

P(B)=P(Test ja)

P_B(A)=P(A∩B)/P(B)

P_A(B)=P(B∩A)/P(A)

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Für die Sensitivität und Spezifität nehme ich immer das Beispiel eines HIV-Tests:

Ein HIV-Test hat eine Sensitivität von 0.999 (d.h. 99,9 Prozent aller Infizierten werden positiv getestet) und eine Spezifität von 0.998 (das heißt 99.8 Prozent aller Nichtinfizierten werden negativ getestet)

Das heißt nicht,  dass 99.9% der Menschen HIV hat, sondern das diejenigen, die HIV haben mit einer 99.9% Wahrscheinlichkeit richtig diagnostiziert werden.

Wenn du Nichtinfiziert bist, dann wird das zu 99.8% auch so bestätigt.

Daher sind übrigens mehrere Tests nötig, um mit 100%iger Sicherheit zu sagen, dass ein Individuum HIV hat.

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http://jumbo.uni-muenster.de/index.php?id=194

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Gast az0815

Ich brauche deine HILFE! Du hast doch deinen Rechner.

Kannst du dort folgende Gleichung lösen:$$0.9=\Phi\left(\frac{20-50}{x}\right)$$ Ich habe keinen Plan, wie ich das bei mir eingeben soll oder bei WOLFRAM

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@ racine_carrée: Ich kenne den Zusammenhang nicht, aber es ist

invNorm(P=0.9,mu=50,sigma=20) = 75.631031331574

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Nein, so meine ich das nicht

Sigma wird gesucht. Wir haben

P(X≥20)=0.9

Wir haben den Erwartungswert 50

P(X≥20)=(20-50)/σ

0.9=Φ((20-50)/σ)

Es wird also Sigma gesucht, um die Wahrscheinlichkeit für 0.9 zu erreichen.

Background:

https://www.mathelounge.de/559000/statistik-normalverteilung-erwartungswert-varianz

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Deute ich die Angaben richtig ?

Aus früheren Test weiß man
1 % der Produkte sind Ausschuss

Wird ein Test gemacht wird der Ausschuss 0.01 zu
99 % erkannt = 0.0099
und zu
1 % nicht erkannt 0.01 * 0.01 = 0.0001

Kein Test aber die Werte liegen aus früheren Tests
gesichert vor

99 % ist das Produkt gut und wird zu 98 % erkannt
0.99 * 0.98 = 0.9702
und zu 2 % nicht erkannt
0.99 * 0.02 = 0.0198

Für 100 Produkte heißt dies
0.99 Ausschuss erkannt
0.01 Ausschuss nicht erkannt
97.02 Produkt ok und erkannt
1.98 Produkt ok aber falsch erkannt

Dies dürften die vier Fälle sein.

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Können wir das im Chat besprechen? Ist ja etwas off topic.

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Ok, im Chat funktioniert offenbar kein C&P, daher hier meine Ausgabe:

Mu ist offenbar 40 und nicht 50.

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Thanks, hat sich geklärt.

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wieder zur eigentlichen Fragen : kennt sich jemand mit dem restlichen Zeugs aus?

@ Trashcan : wie bist du auf die 0,0297 gekommen?... ich komme auf 0,01297

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wieder zur eigentlichen Fragen : kennt sich jemand mit dem restlichen Zeugs aus?


@ Trashcan : wie bist du auf die 0,0297 gekommen?... ich komme auf 0,01297

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Schaut euch das mal an

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sry hab ein Fehler gemacht... das ist das richtige!

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Gut, das ist soweit richtig.

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= (0,0099*0,01)/(0,0099*0,01+0,0198*0,99) = 0,005 = 0,5%

Ich habe die Aufgabe nach diesem Beispiel gerechnet und habe bei der a.) 0,005 = 0,5% raus.

Stimmt das oder mach ich was falsch ?

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Hm... mit den Daten aus deiner Tabelle bekomme ich

a) P(Ausschuss/Test ja)
= P(Ausschuss und Test ja)/P(Test ja)
= 0.0099/0.0297
= 0.333333

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also a.) - c.) müsste stimmen denke ich ..... kann mir jemand helfen bei der d.) ?

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Ok bei a) sind wir dann wohl inzwischen beim gleiche Ergebnis.

Ich verwende noch einmal deine Vier-Felder-Tafel für

b) P(kein Ausschuss / Test nein)
= P(kein Ausschuss und Test nein)/P(Test nein)
= 0.9702/0.9703
= 0.9998969391

(Rundungsregeln beachten.)

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bei d würde ich vielleicht das ganze als Funktion betrachten:

$$p_1=P(A)=0,01\\ p_2=P(B|A)=0,99\\ p_3=P\overline{B}|\overline{A})=0,98\\ f(p_1,p_2,p_3)=P(A|B)=\frac{p_1 \cdot p_2}{p_1 \cdot p_2+(1-p_1)\cdot(1-p_3)}\\ f_1(p_1)=f(p_1;0,99;0,98)=\frac{99p_1}{97p_1+2}\\ f_2(p_2)=f(0,01;p_2;0,98)=\frac{100p_2}{100p_2+198}\\ f_3(p_3)=f(0,01;0,99;p_3)=\frac{1}{101-100p_3}\\$$

Ich habe für die Änderungsraten folgendes raus, habe aber geschmiert bei meiner Rechnung - ziemlich wahrscheinlich, dass ich mich irgendwo vertan habe :)

$$ f_1'(0,01)=\frac{20000}{891}\\ f_2'(0,99)=\frac{200}{891}\\ f_3'(0,98)=\frac{100}{9}=\frac{9900}{891}\\$$

Bei mir hätte also p_1 die größte Auswrikung (bei kleiner Änderung).

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Ja genau ich habe auch raus das P1 die größte Auswirkung hat... aber dann weiß ich nicht was die bei der f.) wollen, da aprior doch auch P1 ist oder nicht?

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EDIT: | für bedingte Wahrscheinlichkeit redigiert.

Geht das nun hier weiter? https://www.mathelounge.de/559245/testverfahren-mit-ausschuss-fallstudie-mit-2-bedingungen

Was sind die j dort? Auch I oder fehlt noch etwas, wie z.B. ja ?

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es ist ein "I"