Seien (an) und (cn) zwei konvergente Folgen lim a_n = lim c_n...

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(c_{n}\right) \) zwei konvergente Folgen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n} . \) Sei \( \left(b_{n}\right) \) eine weitere Folge mit \( a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \) für fast alle \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass \( \left(b_{n}\right) \) konvergiert und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \)

Answer 1

Da c_n konvergiert und b_n≤c_n, konvergiert auch b_n nach dem Majorantenkriterium.

Da lim a_n = lim c_n und a_n≤b_n≤c_n, muss auch lim b_n = lim c_n = lim a_n.

Comments

Müsste nach dem Majorantenkriterium b_n nicht in den Betragsstrichen stehen? Also |b_n|≤c_n?

---

Die Antwort ist nicht gut. Das Majorantenkriterium gilt lediglich für Reihen.

Besser:

Sei 0 < Epsilon. Dann gibt es eine N € IN, so dass für alle n >= N gilt:

(1) I cn - a I < E
(2) I an - a I < E
(3) an =< bn =< cn

wobei a = lim an = lim cn ist.

Aus (3) folgt:

an - a =< bn - a und bn - a =< cn - a .

Nun ist zu zeigen, dass I bn - a I < E für alle n >= N ist.

Ist 0 =< bn-a =< cn - a , dann gilt

I bn - a I =< I cn - a I < E

Ist an - a =< bn- a < 0 , dann gilt

- ( an - a) >= - ( bn - a)

also I an -a I >= I bn - a I

und es ist

I bn - a I =< I an - a I < E.


Es gilt also I bn - a I < E sowohl für bn - a >= 0 als auch für bn - a < 0,

daher konvergiert (bn)

und es ist lim bn = a = lim an.

q. e. d.

---

Danke für den Kommentar. Vgl. auch https://www.mathelounge.de/5712/kann-man-das-majorantenkriterium-auch-auf-folgen-anwenden

---

Muss man bei Deinem Beweis nicht noch zwischen den N und den Epsilons unterscheiden?

Wenn ich für beide Folgen ein Epsilon vorgebe, dann ist es ja möglich, dass die N, ab denen die Folgeglieder näher am Grenzwert sind als Epsilon, unterschiedlich sind.