Konvergiert die Reihe (absolut): a=(-1)^n*1/n und a=1/(2^n)

Question

Ich weiß nicht, wie ich hierbei vorgehen soll, wäre toll, wenn jemand helfen könnte.

$$ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \text { mit } a _ { 2 n } : = ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { n } \quad u n d \quad a _ { 2 n - 1 } : = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } $$

Sollte wohl \( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \) heissen.

Comments

Was genau ist mit absolut gemeint?

Soll die Reihe konvergieren, wenn von jedem Summanden einzeln der Betrag genommen wird.

Du meinst mit 'absolut' wohl eher nicht so was wie 'im Ganzen.' Oder?

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Erstmal danke für die schnelle Antwort :)

Das die Summe bei n=0 anfängt, hat mich auch verwirrt, aber so steht es in der Aufgabenstellung.

Mit (absolut) wollte ich fragen, ob die Reihe konvergiert oder absolut konvergiert.

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Mit meinem b_n  und zusätzlich (-1)^{k+1} vor 1/(k+1) könnte man wohl zeigen, dass (ab einem gewissen k₀) eine alternierende Nullfolge vorliegt, da 1/(2^k) schnell vernachlässigbar klein wird in Vergleich zu 1/(k+1). Als alternierende Nullfolge müsste die wohl konvergieren. Oder?

Ohne k resp. n=0!

Answer 1

1. Variante: wenn von jedem Summanden einzeln der Betrag genommen wird. (-1)ⁿ ist dann irrelevant.

In diesem Fall kannst du nach unten abschätzen mit der harmonischen Reihe, wenn du immer 2 Elemente zusammenfasst. Das zeigt, dass die Reihe absolut divergiert.

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ n } } \quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { b }_{ k } } \\ mit\quad { b }_{ k }\quad =\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ k } } +\frac { 1 }{ k+1 } >\quad \frac { 1 }{ k+1 } >\quad \frac { 1 }{ 2 } *\frac { 1 }{ k } \\ Probe\quad { b }_{ 1 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } $$

Anmerkung. Beginnt die Summe, wie du angegeben hast mit n=0, so ist der erste Summand gar nicht definiert. Und du kannst von Anfang an sagen, dass da nichts konvergiert.