Knobelaufgabe: 4 Mädchen 3 Jungen am Kreistisch

Question

Hier eine Knobelaufgabe, bei der ich leider keinen Lösungsansatz finde:

Arco darf 7 Freunde (4 Mädchen 3 Jungen) zu seinem Kindergeburtstag einladen.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine (2) Jungen nebeneinander zusammensitzen?

Lösung: ? : (7 aus 3)/7

b) dass alle 3 Jungs zusammensitzen?

danke im Voraus für jegliche Hilfe!

Comments

Arco darf 8 Freunde (4 Mädchen, 3 Jungen) zu seinem Kindergeburtstag einladen.

4+3=7

Erläutere das mal!

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So hab ich mal angemeldet. Erstmal danke für deine Hilfe! Ich hatte mich verschrieben, es sollen wirklich nur 4 Mädchen und 3 Jungen an einem Kreistisch mit 7 Stühlen sitzen.

Versteh aber deinen Lösungsweg trotzdem leider nicht. Müssten es laut deiner Variante nicht 4!*4!*2/7! sein? der erste Junge/das erste Mädchen hat die Auswahl von  4 blauen oder 4 roten Stühlen, der nächste Junge 3 blauen 3 roten usw...

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Finde deine Grafik eigentlich sehr anschaulich. Daraus lese ich ab, dass nehmen wir mal auf den blauen Kreisen die Jungen sitzen und auf den roten die Mädchen. Es gibt 4! verschiedene Möglichkeiten die blauen und 4! Möglichkeiten die roten Kreise anzuordnen. Da man den Kreis einmal rotieren kann nochmal mit 2 multipizieren. Und als letztes alles durch die Gesamtanzahl 7! dividieren.

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Also zählen wir Arco doch dazu?

Insgesamt also 4 Jungen und 4 Mädchen? Dann stimmt das unten! Brauchst du Hilfe bei der b) ?

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Nein, Arco zählt nicht dazu, hatte bloß versucht, deinen Lösungsweg nachzuvollziehen.

Bei 7 Personen ist es dann ja eine andere Geschichte. Eine Freundin hat mir eben ihre Lösung dafür geschickt: (4aus3):4 / (7aus3):7

der dürfte ja korrekt sein? Wenn ja, dürte das geklärt sein, danke nochmal:)

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Ich komme auf (2/5)

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Hmm... also wie gesagt dass ist nur die Lösung von einer Freundin, nicht die Musterlösung.:)

Ihre Erklärung ist schwierig in Textform zu verfassen. Sie meint, es entstehen 3 "Pufferplätze", deswegen steht im Zähler(7-3=4 aus 3). Das muss durch 4 geteilt werden weil man 4 mal rotieren kann.

Im Nenner steht die Gesamtanzahl (7 aus 3) und das nochmal durch 7 weil man 7 mal rotieren kann.

Hoffentlich hilft dir das:))

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a)

(6*4*2*3!)/(7-1)!

b)
(4!*3!)/(7-1)!

Das sind meine Lösungen. Aber um die zu erklären müsste ich echt ein Video machen. Sonst ist das zu aufwendig.

Answer 1

a)

J _ J _ J _ _

J _ J _ _ J _

J _ _ J _ J _

3 * 2! * 4! / 6! = 1/5 = 20%

b)

(3! * 4!) / 6! = 1/5 = 20%

c) Die Wahrscheinlichkeit das genau 2 Jungen zusammen sitzen sollte jetzt ja bei 60% liegen

J J _ J _ _ _

J J _ _ J _ _

J J _ _ _ J _

3 * 3! * 4! / 6! = 3/5 = 60%

Sieht also recht gut aus.

Comments

Ich sehe, dass sich unsere Antworten bei der a) unterscheiden.

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Das hast du gut erkannt. Jetzt bleibt nur die Frage wer recht hat und warum :)

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Erstmal stelle ich mir die Frage, auf wie viele verschiedenen Arten ich drei Jungen um einen Tisch mit 7 Stühlen verteilen kann; ohne dass sie zusammensitzen.

Ich baue mir dann immer meinen Tisch in PowerPoint:

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Ich hatte mir die Stühle dafür in eine Reihe gestellt

J _ J _ J _ _

Wobei ich hier hätte schreiben sollen das ein ganz bestimmter Junge immer auf dem 1. Platz sitzt. Weil ich den Tisch ja immer so drehen kann das dieser bestimmte Junge auf meinem ganz linken Stuhl sitzt. Daher gibt es hier für den einen Jungen nur genau eine Möglichkeit.

Für die anderen beiden Jungen (J) gibt es 3 Möglichkeiten der Platzierung.

Dann kann man noch die 2 J und die 4 M untereinander Vertauschen.

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Oh, ich habe gerade beim herumprobieren germerkt, dass du recht hast!

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Ich hab mein Mathetutor gefragt und er kommt ebenfalls auf 1/5 :)

Jedoch konnte er deinen Lösungsweg 1⋅4⋅2⋅4!/(7−1)!=4/15 nachvollziehen und keinen Fehler darin finden

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1 * 4 * 2 ist verkehrt. Was wäre gewesen wenn der der zweite für den es vier Möglichkeiten gibt in einem Abstand von 2 hingesetzt hätte? Gäbe es dann für den dritten immer noch 2 Möglichkeiten?

Das sollte ein Mathe-Tutor aber eigentlich sehen.

Die benutzte Pfadregel der Kombinatorik (bzw. Fundamentalprinzip der Kombinatorik) funktioniert nur, wenn alle Möglichkeiten unabhängig voneinander sind und nicht wenn die Möglichkeiten abhängig sind.

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Genau das ist mir auch aufgefallen heute Morgen. Hat der Mathetutor bei der b) auch 1/5 raus?

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zu b) hab ich ihn nicht gefragt, aber da sind wir uns ja einig dass die Lösung richtig ist:))

falls es euch interessiert, der Mathetutor hatte den gleichen Lösungsweg wie den von meiner Freundin gehabt: (4aus3):4 / (7aus3):7

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Ich gehe davon aus das meine Ergebnisse stimmen.

Daher habe ich es ja auch noch für genau 2 Jungen die nebeneinander sitzen gemacht.

Dann hat man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung deren Summe 1 ergeben muss. Wenn das nicht eins wäre müsste man irgendwo einen Fehler haben.

Wenn es 1 ist müssten dann wenigstens in 2 Rechnungen Fehler drin sein. So ist das also schon ein recht guter Weg wenigstens eine kleine Sicherheit einzubauen.

Das kann ich also immer empfehlen, wenn es nicht soviel Mühe macht.

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Den verstehe ich null komma nix!

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@racine_carrée

hab ihn selber noch nicht ganz verstanden... also er hat die Situation auf die normale Stuhlreihe übertragen. Da wäre die Lösung (7-3 aus 3) / (7 aus 3)

Da wir uns aber im Kreis befinden, muss im Zähler noch durch 4 geteilt werden und im Nenner durch 7 da man ja rotieren kann. -> (4aus3):4 / (7aus3):7

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Mathecoachs hingegen kann ich perfekt nachvollziehen. Ich hatte mich mit dem setzen der Jungen vertan und weiß was ich falsch gemacht habe. Wichtig ist aber, dass du es verstehst.

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Nach längerem Überlegen hab ich jetzt endlich auch den Lösungsweg von Mathecoach verstehen können, danke nochmal an euch beiden.

Answer 2

Ich berechne hier nach LaPlace und teile somit die günstigen Ereignisse durch alle möglichen Ereignisse. Alle Möglichen Ereignisse werden mit \((n-1)!\) berechnet:

a)

$$\frac{1\cdot 4\cdot 2\cdot 4!}{(7-1)!}=\frac{4}{15}$$

b)

$$\frac{4!\cdot 3!}{(7-1)!}=\frac{1}{5}$$

Comments

Danke für deine Mühe!! Jetzt hab ich deinen Lösungsweg nachvollziehen können:)

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Stell dir mal vor du bist in einem Raum, in dem wirklich gar nichts ist. Du stehst vor einem runden Tisch und hast 7 freie Plätze. Deine Freunde setzten sich erst nach Dir hin. In diesem Raum gibt es also keinen Fensterplatz o. ä.

Warum solltest du also einen Platz bevorzugen? Erst wenn du dich setzt hat dein Freund eine wirkliche Möglichkeit. Er kann sich gegenüber von Dir rechts von Dir links von Dir etc. hinsetzen. Der erste hat aber keine Möglichkeit!

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Hier für mehr, das habe ich mal verfasst:

https://www.mathelounge.de/541883/mathe-artikel-zahlens-ringpermutation-zyklische-permutation

Lies dir das bis zu den Beispielaufgaben mal durch!

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Oh wie cool, die Seite kannte ich vorher noch gar nicht! Les die mir gleich mal durch zum besseren Verständnis:))

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Ich hoffe auch, dass noch ein dritter hier mit knobelt.