Sinus, Kosinus und Tangens per Hand berechnen

Question

Berechnen Sie sin(x), cos(x) und tan(x) an den Stellen:

x∈ {π/3,π/4,π/5}.

Kann mir jemand sagen, wie man das ohne Taschenrechner löst?

Also der Tangens sollte ja kein Problem sein, wenn man Sinus und Kosinus berechnet hat.

Answer 1

benutze die Additionstheoreme.

$$ \sin\Big(\frac{\pi}{3}\Big)=\sin\Big(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\Big) \\= \sin\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\cdot \cos\Big(\frac{\pi}{3}\Big)+\cos\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\cdot \sin\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Comments

müsste das dann nicht heißen:

sin(π/6)cos(π/6)+cos(π/6)sin(π/6)

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Oh ja, danke. Hab mich da beim Eingeben vertan.

Answer 2

Hallo

 zeichne ein gleichseitiges Dreick mit Höhe, die Höhe ist 1/2*√3s

 dann kannst du direkt sin und cos  und tan von π/3,π/6 leicht bestimmen, dasselbe für π/4 im gleichseitigen rechtwinkligen Dreieck.

diese Werte sollte man dann auch auswendig wissen oder jederzeit aus den Skizzen sehen.

bist du sicher mit π/5? dazu braucht man ein regelmäßiges 5 Eck, wie man das schnell wissen sollte weiss ich nicht.

Gruß lul

Answer 3

Bei

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

findet man sehr viele "bekannte Spezialfälle" und darunter die nötigen Gesetze

(auch cos und tan Umwandlung) dazu.

Answer 4

  Ich krieg ja hier immer die Prügel. Weil wenn dich wirklich intressieren sollte, was cos ( Pi/5 )

  " Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

   Weil ich fand mal ein Internetportal, wo die ===> fünften primitiven einheitswurzeln als Lösung einer stink normalen quadratischen Gleichung beschrieben waren. Mich intressiert sowas ja; aber bei dir bin ich da nicht so sicher .

   Damit lässt sich das Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren. Denn der Zirkel kann die vier Grundrechenarten + Quadratwurzel Ziehen ( dritte Wurzel beispielsweise schon nicht mehr. )

   Hier ich bin übrigens dem Gauß drauf gekommen. Gauß war Größen wahnsinnig .

   Mit 17 Jahren entdeckte er etwas sehr Nützliches, nämlich die komplexe Ebene . Es ist aber überliefert, dass er diese Entdedkung geheim hielt

   " Ich fürchte das Geschrei der Boöter ... "

   Ich glaube sein Motiv zu kennen. Gauß hatte nämlich diese Entdeckung  missbraucht für den Beweis, dass das Regel mäßige 17_Eck zu konstruieren geht .

   Weißt du was ich glaube? Gauß war Ruhm süchtig;  er hoffte zu glänzen mit der  ===> Quadratur des Kreises .  Und da fürchtete er, wenn alle die komplexe Ebene kennen, schnappt ihm jemand die schöne Quadratur weg ...  Der meinte echt, seine 17 Ecken hätten ihn dem runden Kreis auch nur ein Jota näher gebracht .

    Hätte Gauß die Zahlenebene veröffentlicht, wenn sie ein integraler Bestandteil der Quadratur des Kreises wäre?  Die Frage stellen heißt sie beantworten .

   Und irgendwann  merkte Gauß, dass er immer älter wird. Und da fürchtete er, Freund Hein  möchte ihn abholen, bevor er dioe schöne Quadratur hat. Und da wollte er beweisen, dass er über den Hades triumphiert.

   In seinem Testament verfügte Gauß, in seinen Grabstein sei sin ( 2 Pi/17 ) in Form einer Quadratwurzel einzumeißeln . Damit wenn wirklich auf diesem Wege die Quadratur gefunden wird, er wenigstens als " maßgebender Initiator " im Gespräch bleibt .

     Heute erhebt sich da nur noch Homerisches Gelächter. Konstruierbar sind nur jene Eckenhzahlen in der Formel  2  ^ n  + 1 , die auch Primzahlen sind . Außer 3 , 5 und 17 bleibt da nur noch die exotische 257 . Selbst die größten Rechner vermochten keine größere Primzahl mehr zu finden; rein teoretisch ist unerforscht, ob es überhaupt noch welche gibt geschweige unendlich viele .

   Wie kst das mit dem Ruhm?  ===>  Walter Greiner soll ja zu seiner Dame gesagt haben

   " Fr. Knolle; Sie bleiben uns doch nach der Rente noch erhalten? "

   " Kaan Daaach länger. "

   " Weil der Unterschied zwischen Ihnen und mir ist ja der: In 400 Jahren bin ich genau so tot wie Sie. Aber ich bin dann immer noch berühmt ... "