Definitionsbereich und Monotonie bestimmen von y=f(x)=x/(x-1)^2

Question

y=f(x)=x/(x-1)^2

Definitionsbereich bestimmen und untersuchen sie in welchen Intervallen die Funktion streng monoton fallend ist

Answer 1

y = x / (x - 1)^2

ein Bruch schränkt den Definitionsbereich insofern ein, dass im Nenner nicht Null stehen darf. Für welche Werte von x ist denn bei deinem Bruch der Nenner 0 ?

(x - 1)^2 = 0

Wenn du das weißt, dann weißt du auch was nicht in die Definitionsmenge hinein gehört.

Du kannst sowohl Definitionsbereich wie auch Monotonie grafisch nach bearbeitung überprüfen

~plot~ x/(x-1)^2;x=-1;x=1;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Answer 2

f ( x ) = x / ( x-1)^2
Division durch 0 ausschließen
( x-1)^2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

D = ℝ \ { 1 }

Monotonie
f ( x ) = x / ( x-1)^2
Quotientenregel
f ´( x ) = ( 1 * ( x-1)^2 - x * 2 * ( x-1 ) ) / ( x-1)^4
f ´( x ) = ( x-1 ) * ( ( x -1 ) - 2x ) / ( x -1 )^4
f ´( x ) = ( -x -1 ) / ( x-1)^3

Monotonie fallend = negativ
( + / - ) oder ( - / + )
Fall 1
( -x -1 ) ist positiv
-x -1> 0
x < -1
und
( x -1 )^3 ist  negativ
( x-1)^3 < 0
x - 1 < 0
x < -1
( x < -1 ) und ( x < -1 )
x < -1

2.Fall
( - / + )
( -x -1 ) ist negativ
-x -1 < 0
x > -1
und
( x -1 )^3 ist  positiv
( x-1)^3 > 0
x - 1 > 0
x > 1
( x > -1 ) und ( x > 1 )
Zusammen
x > 1

Fallend
( x < -1 ) und ( x > 1 )
wurde graphisch überprüft.