Funktionsgleichung zu jeweils sechs Geraden angeben

Question

Schreibe nach den Ferien eine Nachprüfung, deshalb muss ich wissen, ob ich es verstanden habe

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Hast du es denn verstanden? Teil mal deine Ergebnisse mit!

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Setze jeweils 2 Punkte ein und löse das Gleichungsystem.

Oder:

Bestimme m und setze dann 1 Punkt ein.

m= (y1-y2)/(x1-x2)

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Was hast du für Funktionen raus?

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Den Rest (und c) ) habe ich nicht machen können

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Aus meiner Sicht sind die alle nicht richtig. Ein Tipp, wenn die gerade nach unten geht, muss die Steigung negativ sein.

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zu a) Es ist \(m=-1\) und \(n=-1\), also \(y=-x-1\).

Answer 1

Es ist immer derselbe Vorgang
2 Punkte aus der Grafik abgreifen
d.)
( x | y )
P1 ( 0 | 2 )
P2 ( -1 | -4 )

m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 2 - (-4) ) / ( 0 - ( -1 ) ) = 6 / 1
m = 6

Einsetzen
y = m * x + b
2 = 6 * 0 + b
b = 2

y = 6 * x + 2

Probe
-4 = 6 * (-1) + 2
-4 = -4

Comments

Es ist immer derselbe Vorgang
2 Punkte aus der Grafik abgreifen

Man kann es aber manchmal auch einfach ablesen.

z.B bei a) Dort geht es pro x-Wert einen y-Wert nach unten und die Gerade schneidet die y-Achse bei -1
Also:
f ( x ) = - 1 * x  - 1

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@Smitty: Genau so ist es und deshalb sind die einzelnen Geraden ja auch nicht nur von verschiedener Farbe...

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Hallo smitty,
die Berechnungsweise mit den 2 Punkten hat den
Vorteil das sie immer funktioniert.
Gerade jemand der eine Nachprüfung hat
ist damit auf der sicheren Seite.
Das ein Fachkundiger manches schneller
oder einfacher lösen kann ist bekannt.
Dies rate ich aber dem Fragesteller nicht an.

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Also ich muss sagen, dass mir in der Schule zuerst meine Methode gelehrt wurde.

Demnach kann ich nicht beurteilen, was einfachere ist.

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Persönlich bevorzuge ich die Methode á la Steigungsformel \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

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at smitty,

Meine Vorgehensweise kommt aus dem
Alltag im Labor.
m abzulesen mit  " 1 nach rechts und dann
wieviel nach oben " geht auch.
Aus Gründen der Genauigkeit empfiehlt
es sich möglichst weit auseinanderliegende
Punkte zu wählen. Damit können m und
b genauer berechnet werden.

Answer 2

f)

m=0

n=2

y=0*x+2

y=2

Answer 3

du kannst das auch zunächst allgemeiner betrachten.

Du betrachtest zwei beliebige Punkte A(x₁/y₁) und B(x₂/y₂)

Du bestimmst damit die Steigung m:

$$ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

Die allgemeine Geradengleichung lautet ja:

$$ g(x)=m\cdot x+n $$

Jetzt nimm einfach einen der Punkte, also A oder B und setze sie in g ein, sowie die Steigung m. Hier mit Punkt A ergibt:

$$ y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1+n\\ \Leftrightarrow n=y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1\\ \Leftrightarrow n=\frac{x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2}{x_2-x_1} $$

Das ergibt insgesamt die folgende Geradengleichung g:

$$ g(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x+\frac{x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2}{x_2-x_1} $$ (x₂-x₁) ausgeklammert sieht das schöner so aus:

$$ g(x)=\frac{1}{x_2-x_1}\cdot \Big[(y_2-y_1)\cdot x+x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2\Big], \quad x_2\neq x_1. $$

Jetzt ist das nur noch pures  sechsmaliges Einsetzen, ohne jedesmal m und n ständig neu bestimmen zu müssen.