Mengenlehre, Geben Sie alle Lösungen der Menge an und kontrollieren Sie die Gleichung.

Question

$$1.Geben\quad Sie\quad alle\quad Elemente\quad der\quad Menge\quad an.\\ \left\{ x\epsilon N:{ x }^{ 2 }\ge 0 \right\} \setminus \left( \left\{ x\epsilon R:-1\le x\le 1 \right\} \bigcap  \left\{ y\epsilon R:0<y<2 \right\}  \right) \\ Lösung:\quad \left\{ x\epsilon N:{ x }^{ 2 }>1 \right\} \quad ?\\ \\ 2.\quad Ist\quad die\quad Gleichung\quad für\quad A\quad und\quad B\quad richtig?\\ A\cup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (A\cap B)\\ \\ Lösung:\quad Wenn\quad man\quad konkrete\quad Mengen\quad (zahlen)\quad einsetzt,\quad dann\quad stimmt\quad die\quad Gleichung\\ (man\quad sieht\quad dies\quad ja\quad auch\quad so),\quad aber\quad wie\quad wie\quad Beweist\quad man\quad das\quad anständig?$$

Answer 1

Für das y kannst du auch ein x nehmen:

$$\left\{ x\epsilon N:{ x }^{ 2 }\ge 0 \right\} \setminus \left( \left\{ x\epsilon R:-1\le x\le 1 \right\} \bigcap  \left\{ x\epsilon R:0<x<2 \right\}  \right) \\$$

Dann hast du hinter dem \ die Menge aller reellen Zahlen die sowohl

zwischen -1 und 1 (je einschließlich) liegen und gleichzeitig

zwischen 0 und 2 (je ausschließlich) .

Das sind also alle zwischen 0 (ausschließlich) und 1 (einschließlich)

also für die gilt    0  < x  ≤ 1 .

Diese soll man von der vorderen Menge wegnehmen. In der vorderen

sind alle natürlichen Zahlen mit x^2 ≥ 0 .  "wegzunehmen" ist  also nur

die 1 ( 0 ist wohl bei euch keine nat. Zahl.) und es bleiben alle übrig, deren

Quadrat größer als 1 ist, das sind dann auch alle natürlichen Zahlen,

die größer als 1 sind, Lösung könnte als auch heißen

$$ Lösung:\quad \left\{ x\epsilon N: x >1 \right\} \quad \\$$

Comments

Und wie würde es ausschauen, wenn die 0 noch dazu gehören würde?

So hier{xeN: x=0 U x>1} ?

Kannst du mir noch zeigen, wie der zweite Teil geht?

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Und warum gilt nicht x^2>1, sonder x>1

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Bei natürlichen Zahlen  (1,2,3,... ) ist es so, dass

wenn x>1 ist auch x^2 > 1 ist und umgekehrt.

Beim 2. Teil musst du ja Mengengleichheit zeigen.

Das geht üblicherweise so:

Sei x aus der linken Menge, hier also

Sei x ∈ A ∪ B

==> (nach Def. )   x ∈ A   oder x ∈ B

Dann musst du zeigen, dass x jedenfalls in einer der

drei Mengen ist, die rechts vereinigt werden.

1. Fall   x ∈ A   und  x ∈ B , also  x ∈ A∩B

2. Fall     x ∈ A   und  x ∉ B , also  x ∈ A\B

2. Fall     x ∉ A   und  x ∈ B , also  x ∈ B\A

Den Fall   x ∉ A und  x ∉ B gibt es nicht, da x ja in mindestens

einer der beiden Mengen ist.

Also ist x in jedem Fall in einer der drei an der Vereinigung beteiligten

 Mengen. q.e.d.

Dann noch umgekehrt:

Sei x in der rechten Mengen, dann gilt nach Def. der Vereinigung

x ∈ A∩B   oder   x ∈ A\B     oder  x ∈ B\A

In jedem der drei Fälle also  x ∈ A   oder x ∈ B

und damit   x ∈ A ∪ B .    q.e.d.

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stimmt.

und mit  wäre {xeN: x=0 U x>1)  korrekt?

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Genau so sehe ich es auch. Allerdings v statt Vereinigung.