Welche der folgenden Reihen konvergieren? Summe von n^{-0.5}, 1/(n^2-1) resp. n/(n^2+1)

Question

$$\text{Welche der folgenden Reihen konvergieren?}\\\left. \begin{array} { l l } {(a) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } } & { ( b ) \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } } \\ { (c)\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } } \end{array} \right.\\\text{Geben Sie Begründungen}$$

Ich glaube die Frage steht für sich :)

Answer 1

a) lim(1/Wurzel(n)) für n gegen oo ergibt 0 (1/Wurzel(oo)= 1/oo). Die Zahlenfolge stebt für sehr große n den Wert 0 an.

b) analog zu a) lim(1/(n^2-1)) für n gegen oo ergibt 0 (1/oo). Die Zahlenfolge stebt für sehr große n den Wert 0 an.

c) n im Nenner ausklammern. Dann ist lim n/(n*(n + 1/n)) für n gegen oo gleich lim(1/(n + 1/n)) für n gegen oo. Ergibt 0 wegen 1/oo (der Term 1/n für n gegen oo = 0). Die Zahlenfolge stebt für sehr große n den Wert 0 an.

Comments

warum konvergiert c) ?

Meiner Meinung nach divergiert c)

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wenn du  n aus klammerst hast du da 1/n+1 wenn du dann für n unendlich einsetzt hast dz 1/unendlich -> läuft ebenfalls gegen 0 -> konvergiert.

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hoffe es ist richtig so..

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Duerfte richtig sein. Wenn die Potenz im Nenner groesser als die im Zähler ist, dürfte es immer gegen Null konvergieren.

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Meiner Meinung nach ist das alles falsch, oder ich habe irgendetwas überhaupt nicht verstanden. Eine Reihe konvergiert doch, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Das tut sie aber doch gar nicht bei a) z.B.

Denn 1,7= Wurzel(1)+Wurzel(1/2)<2,28=Wurzel(1)+Wurzel(1/2)+Wurzel(1/3)< .... läuft gegen unendlich und divergiert doch. Also divergieren die Partialsummen und die Reihe divergiert.

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Bei mir konvergiert nur b). Die anderen sind divergent. Alles nach Majorantenkriterium.

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Und warum konvergiert b?

 

n=2   ->0,33333 =1/3

n=3 ->0,45 =1/3+1/8

n=4-> 0,52 =1/3+1/8+1/15

n=5 -> 0,566 =1/3+1/8+1/15+1/24

 

und 0,3<0,45<0,52<0,56< unendlich ....also muss auch b divergieren

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für n>=2 ist 1/n^2-1 <= 1/n(n-1) und diese Reihe konvergiert. Keine Ahnung ob das richtig ist.

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Also ich habe den Taschenrechner mal eben gequält und ihn 100 000 partialsummen machen lassen. er sagt dass die reihe aus aufgabe b tatsächlich gegen 0.75 konvergiert bei 100 000 sagt er nämlich 0,74999

wie kommt man darauf? Oo

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ok und die c divergiert auf jeden fall denn bei n = 10 000 sagt er noch 9,11 und bei n = 100 000 schon 11,4183 also nähern sich die partialsummen keinem festen wert

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Ich habe das nach Beispiel 5 gemacht. War ziemlich ähnlich und c hat schon jemand hier gemacht.

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War mit der Antwort etwas zu voreilig. Sorry. Grenzwertbetrachtungen von Folgen implizieren nicht immer eine Konvergenz oder Divergenz von Reihen.

nochmal zu b)

Wir wissen, dass eine Reihe der Form Summe von n=1 bis oo über 1/(n^a) für a ≥ 2 konvergiert. Kann man beweisen, gehe ich aber nicht drauf ein. Steht im Grunde in jedem Buch über Reihen drin.

Nach dem Majorantenkriterium, das besagt, dass die Reihe a_n dann konvergiert, wenn die Reihe b_n unter der Bedingung 0 < a_n ≤ b_n konvergent ist.

a_n = 1/n² und b_n = 1/(n²-1)

1/(n² - 1) > 1/n² für n ≥ 2

Da a_n konvergiert, konvergiert auch b_n.

Zu a) Wir wissen, dass die Reihe 1/n divergiert. Da die Reihe 1/Wurzel(n) kleiner gleich als Reihe 1/n ist, müsste die Reihe 1/Wurzel(n) nach dem Minorantenkriterium ebenfalls konvergieren.

 

zu c) divergiert. Kann man zeigen über das sogenannte Vergleichskriterium.

n/(n²+1) für sehr große n kann man auch schreiben n/n² und das enspricht 1/n. Reihe 1/n ist divergent, also divergiert die Reihe n/(n² + 1) ebenfalls.

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bei a) meinte ich ebenfalls divergieren