Produktregel richtig anwenden. f(x) = x*e^x ableiten

Question

Wie kommt man von

x*e^x  zu => 1*e^x + x*e^x  = 0 => (1+x)*e^x = 0 ?

Ich hatte dieses Ergebnis:

1(x*e^x)+x(1*e^x) 

Also äußere Ableitung mal inneren Term + Äußeren Term man innere Ableitung bzw. g' * h + g * 'h.

Comments

Okay danke soweit, ich würde noch mal gerne eine frage zu der gleichen aufgabe, siehe anhang, einfügen. Es ist die Aufgabe 2.a.

Wieso ist lim f(x) gegen minus unendlich eigentlich 0 ? Weil außer -1 keine weitere Nullstelle unter 0 gefunden wurde? Warum ist dann lim f(x) gegen unendlich = unendlich?

Answer 1

$$ f(x) = u(x)\cdot \text{e}^{v(x)} \\[10pt] f'(x) = \left(u(x) + v'(x)\cdot u(x) \right)\cdot \text{e}^{v(x)} $$

Comments

Das oben angeführte Ableitungsschema erlaubt es, die Ableitungen von Funktionen des hier vorliegenden Typs in einem einzigen Schritt in faktorisierter Form aufzuschreiben. Dies spart zum einen viel Arbeit, zum anderen entfällt das fehlerlastige Ausklammern und zum dritten ist das Ergebnis bereits in einer zur Weiterverarbeitung nützlichen Form.

Answer 2

x*e^{x}  zu => 1*e^{x} + x*e^{x } = 0 => (1+x)*e^{x} = 0 ?

Ich hatte dieses Ergebnis:

1(x*e^{x})+x(1*e^{x})
Also äußere Ableitung mal inneren Term + Äußeren Term man innere Ableitung bzw. g' * h + g * 'h.

Bei f(x) = x * e^x hast du keine innere Funktion. Offenbar hast du bei beiden Faktoren u(x) = x auch noch als innere Funktion angeschaut.

Aber: Selbst wenn du statt x . h(x) = x annimmst, musst du x selbst noch ableiten und das gibt 1.

Somit:

1(1*e^{x})+x(1*e^{x}) Nun hier noch überflüssige Faktoren 1 weglassen und dann e^x ausklammern. 

Answer 3

f(x) = x, g(x) = e^x

f'(x)=1, g'(x) = e^x

f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) = 1 * e^x + x * e^x = (x+1) * e^x

Answer 4

( x * e^x ) ´

Ableitung nach der Produktregel nicht nach
der Kettenregel

g = x
g ´ = 1
h = e^x
h ´= e^x

( g * h ) ´ = g ´ * h +  g * h´
1 * e^x + x * e^x
e^x * ( 1 + x )

Comments

2a
Stelle mit waagerechter Tangente
e^x * ( 1 + x ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
e^x = 0 => geht nicht
1 + x = 0
x = -1

2.Ableitung bilden
Produktregel
e^x * ( 1 + x ) + e^x * 1
e^x * ( 2 + x )
x = -1
einsetzen
e^x * ( 2 -1 )
e^x * 1 => positiv = Tiefpunkt ( Mininmum )